概率论与数理统计知识点总结.docx

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1、概率论及数理统计复习参考资料第一章随机事务及其概率1.1 随机事务一，给出事务描述，要求用运算关系符表示事务：二，给出事务运算关系符，要求推断其正确性：1.2 概率古典概型公式：P(A)=好用中常常采纳“排列组合”的方法计算补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=?Q所含样本点数：nn.n=nf1A所含样本点数:n(n-1)(n-2).1=i!补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1,2,3的概率各是多少？解：设Ai：“信箱中信的最大封数为产。(i=1,2,3)求:P(Ai)=?Q所含

2、样本点数：444=43=64A1所含样本点数：4.3-2=24A2所含样本点数：Cj-4-3=36A3所含样本点数：。，4=4注：由概率定义得出的几特性质：1, 0P(A)12, P()=1,P()=O1.3 概率的加法法则定理：设A,B是互不相容事务(AB=),则：P(AUB)=P(A)+P(B)推论1：设A，A2,.,An互不相容，则P(A1+A2.+An)=P(Ai)+P(A2)+P(An)推论2：设A，A2,.,An构成完备事务组，则P(A1+A2.An)=I推论3：P(A)=I-P(A)推论4若BnA,则P(B-A)=P(B)-P(A)推论5(广义加法公式)：对随意两个事务A及B,有

3、P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)补充对偶律：A1jA2j.jAii=A1nA2n.nAt1A1nA2n.nA=A1uA2u.uAw1.4 条件概率及乘法法则条件概率公式:P(AB)=(P(B)O)P(BA)=(P(A)0)P(AB)=P(A/D)P(B)=P(B/A)P(A)有时须及P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)中的P(AB)联系解题。全概率及逆概率公式:全概率公式：P(B)=NP(A)P(B/A)Z=I逆概率公式：(z=1,2,.,)(留意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，假如要求第二步某事务的概率，就用全概率公式；假如求在第二步某事务发生条件下

4、第一步某事务的概率，就用逆概率公式。)1.5 独立试验概型事务的独立性:A与3相互独立oP(AB)=P(A)P(B)贝努里公式(n重贝努里试验概率计算公式课本P24另两个解题中常用的结论1,定理：有四对事务：A及B,A及B,A及B,A及假如其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。2,公式：P（A1uA2u.uAz,）=1-P（1.A2J第二章随机变量及其分布一，关于离散型随机变量的分布问题1,求分布列：确定各种事务，记为J写成一行；计算各种事务概率，记为Pk写成第二行。得到的表即为所求的分布列。留意:应符合性质1,PANo（非负性）2,EPk=I（可加性和规范k性）补例1：将一颗骰子连掷2次

5、，以J表示两次所得结果之和，试写出J的概率分布。解：。所含样本点数：6X6=36所求分布列为:23456789101112Pk1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36补例2：一袋中有5只乒乓球，编号1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以转示取出3只球中最大号码，试写出J的概率分布。解：。所含样本点数：c；=io所求分布列为：345Pk1/103/106/102,求分布函数F(x)：分布函数F(x)=Px=EPkXAX二，关于连续型随机变量的分布问题：xR,假如随机变量J的分布函数F(X)可写成F(X)=1o(X)dx,贝喈为连续型。次X)称概率

6、密度函数。解题中应当知道的几个关系式：0(%)0匚(x)dx=1Pab-PaY2yk以上计算只要求这种离散型的。补例1：设m勺概率分布为：-10125211133Pk5Io10W10求：（1）77=41,=M的概率分布;E。解：因为-101252Pkj_1133510101010n=-1-2-10132n=2101425T所以，所求分布列为:n=-1-2-1013211133Pk5IoToIoTo和：n=2101425T11133Pk5ioIoioTo当n=-1时，En=E(-1)=-2-+(-1)-+01-+-5101010210=1/4当n=己2时，En=E2=X1+o+-1+4-+X5I

7、O1010410=27/8三，求J或n的方差DJ=?Dn=?好用公式分=七2一1自其中，E2=(E)2=(kpk)2kEZxPkk补例2：4-202Pk0.40.30.3求：Eg和Dq解：E=-20.4+00.3+20.3=-0.2E自2=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8D=E2-E2=2.S-(-0.2)2=2.76第四章几种重要的分布常用分布的均值及方差(同志们解题必备速查表)名称概率分布或密度期望方差参数范围二项分布npnpq0P0指数分布不要求1I1下0解题中常常须要运用的EJ和DJ的性质（同志们解题必备速查表）EJ的性质D的性质E(c)=cD(c)=0E(0,有Iim

8、Pp-eve=,则称：是的一样估计:H-CO人假如满意=e,则称是。的无偏估计；假如和A均是的无偏估计，若。(自)Va),则称是比A有效的估计量。8.3 区间估计：几个术语一一1,设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量(XXn)及Xn)，对于给定的(01)满意：尸自(如Xn)2(xv.,Xn)=-a则称随机区间(。，庆)是夕的Ioo(IQ)%的置信区间，。和E称为。的IoO(Ia)%的置信下，上限，百分数100(10)%称为置信度。一，求总体期望(均值)EJ的置信区间1,总体方差/已知的类型据，得O(Ua)=I一多，反查表(课本P260表)得临界值4;嚏二求d=置信区间(x-d,x

9、+d)补简例：设总体XN(,009)随机取4个样本其观测值为12.6,13.4,12.8,13.2,求总体均值U的95%的置信区间。解:V1-=O.95,a=0.05(Ua)=1-=0.975,反查表得：Ua=1.962一41X=A=-(12.6+13.4+12.8+13.2)=134/=I4(3) V。=0.3,n=4d-=0.29所以，总体均值U的Q=O.05的置信区间为：(X-d,X+d)=(13-0.29,13+0.29)即(12.71,13.29)2,总体方差/未知的类型(这种类型非常重要！务必驾驭！)据a和自由度n1(n为样本容量)，查表(课本P262表)得tc5T)；确定最二和求

10、d二置信区间(x-d,x+d)注：无特殊声明，一般可保留小数点后两位，下同。二，求总体方差/的置信区间据a和自由度n1(n为样本数)，查表得临界值：和确定文二和上限下限置信区间(下限，上限)典型例题：补例1：课本P166之16已知某种木材横纹抗压力的试验值听从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下(单位：kgcm2):482493457471510446435418394469试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计(=004)0解：Ta=0.04,又n=10,自由度n一9，查表得，=Zom(9)=19.7%（1）,贝怖绝HO典型例题：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，

11、得到爆破压力的数据（公斤/寸2）为：545,545,530,550,545。依据阅历爆破压认为是听从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2,问这种新罐的爆破压及过去有无显著差异？（Q=0.05）解：H:=549选择统计量Va=0.05,n-1=4,工查表得：（4）=2.776=54301S2=-（545-545）2+.+（543-545）2=57.54=1.772.776.接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压及过去的无显著差异。检验类型:未知期望（均值）口，检验总体方差依据题设条件，提出H：b=bo（%已知）;选择统计量；据。和自由度n1(n为样本容量)，查表(课本P264表)得临界值：巴(-1)和2gS-1)