概率论与数理统计C课件第四章_第四节与Riemann积分的联系.docx

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1、第四节与Riemann积分的联系本节以八XMX记常义或广义R积分.3.4.1定理(1)设-8b0,当亡J旦I1Xk$时有/0(Kx)-s.(2)存在&)UJ,4X,使/&)俨(乃.对W(X)有类似的意义.由定义显然吠x)/C)叭),而且/在X连续O何力W(x)/*).首先证明仇TPae只需证明:若%WJ不是任何小区间JI1S=12,=124)的端点，则有0()-fO)W72.取*使XWJR,是/在JR上的下确界在上/S)?优)=%,Um()hm/(x)伊&)从而J、已知心(毛)是/在JR上的下确界，.，,对“21取/e%使/心)仍5)+%Vx31-0WjKm普耀7.0()TZb于是Vr()wH

2、m%)K，武/)41im(xw)*4hm吗(F)力hm,(xi).)1hm(x0)m,(x0)d%).同理可证明代Qg.于是。，群在J上可测.2；在J上有界，显然（%和（MJ一致有界，从而由COIo335（有界收敛定理）知。WWCk力,而且34i,dm*mi1dm7皿）jmJ.799i,JJd用Iim1Wt1Cbnbm:加话S、由及积分理论知J上衣可积OSS。（伊加=C曲.已知WEd,由PrOP3.2.5(3)知，/在上K可积QqSVO,在J上几乎处处连续.若/在J上衣可积，则/在J上几乎处处连续，从而3a于是.”“在丁上可积，而且(加/BmsfS)dx例1设/(X)为上的Riemann函数，

3、即当=4是互质的自然数时，“=%；当X是无理数或彳0时，小)”讨论了在【,1上的火可积性.解显然(K近1时).任给月21,由定义只有有限个XW【。用使(X)2%,从而由连续性的-3定义知/在每个无理点Xe(OJ)连续，从而/在【】上几乎处处连续，由Th3.4.,/在上R可积，而且-000注意:例1中的函数,在每个有理点XG(】间断.可见，R可积函数的间断点仍然可能“足够多”，以至在定义域内处处稠密.例2设,在区间匕可上常义及可积(从而,在上有界实函数)，gwC(R),则g(x)在必力上及可积.证明设aS/(x)(ax)K(、分0W,当广义积分工“项绝对收敛时，(广义积分)(/)小积分)工网.从

4、而/W2g.b)O广义积分Jy(X)右绝对收敛证明任取点歹4uQ)使4令ZkAJ,则在a,b)上”AjTM,于是由1eVi定理3.3.1及Th3.4.1,(|/|M1hjnf14 1mj加 呼IfV(X)IdX I/。)IdX若1g)MX00,即广义积分(x)dx绝对收敛时，则fdtn8gpei1(a.4)H14Mw2(XWEb),且在协上，1T/，由1ebesgue控制收敛定理3.3.4及Th3.4.1知(加|咿j川W1mjdm1m/(x)jj当广义及积分1绝对收敛时(广义R积分积分)工如.从而/eA(,b)Qf()dx0,讨论函数S)PsmX在区间(0,8)上的可积性(包括乙可积性和广义K可积性).(1)易知当1时，f”3心XFnX绝对收敛当CKa41时，对Vb1,用分部积分法得/(x)=/sinXdXCOSX从而门(於吃Oa9收敛.当0snaXx*1cos2x定.2/粒8综合得出结论：当12时，/(小K从而ed(0.8)(2)当0)上也广义及可积，从而/(X)在S8)上广义及可积.但f1)以=8,从而1/。)以=8.从而,在(8)上非Z可积当22时，/(X)在(OJ)上发散，从而/(x)在(a8)上也发散，从而/(X)在(8)上非广义出可积，当然,在(8)上非心可积.