论存在性问题的处理策略.docx

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1、论存在性问题的处理策略1从方程与自由度说起在数学中，一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。列方程的本质意义，就是寻找变量之间的约束条件，能不能解都在其次，所有方程的意义,都在于把一些同时发生的约束与涉及到的对象（即变量）用公式定量表现出来。当方程个数比未知数多时，解可能会出现矛盾；而当未知数个数比方程多时，则无法解出未知数的具体值，只能求出它们之间的关系0这也就进一步告诉我们：也许我们不能确定能否消元表达，但是我们可以确定，如果要使题目中呈现的关系成立，那么必须有方程来建立约束和关系。而涉及到约束变量的问题，不得不提及一下自由度的概念：自由度的字面意思，是衡量某个事物自由程度的参量，所

2、谓“自由程度”的严格表述是:控制某个事物所需要的独立的参数的个数，例如，正方形的面积受到其边长控制（控制关系是面积=边长的平方），我们就说面积的自由度是1；但我们不能说因为面积=边长乘周长除4,就判定面积是两个自由度，因为周长和边长不是独立的参量。那么，何为独立?这里的独立的意思是，对于选取作为控制操纵杆的参数，它们彼此之间无法列出等式关系来彼此约束。例如，方形面积=两个邻边，你可以随意选取它们的值;但是正方形面积=边长乘周长除4,边长和周长之间显然存在等式关系的约束，那么就不独立。自由度存在两幅面孔:一个是要素关系网中的自由度。列出要素关系网后，各个要素，参数都在一级一级的控制中被确立。假如

3、暂时不看己知中的牵制关系，那么要素网中就有起始的要素（不被任何箭头所指，自身的指定就是自由的）和被控制的要素。起始的要素可能在要素网开头（题干指定一个背景），也有可能中途杀出个程咬金（中间我突然取一个点，一个新参数等），它们构成了要素网的“操纵杆”。其他要素就被这些起始的要素严格地控制住（起始要素定了，这些其他的要素也就顺次定了）。（要素关系网即方程组约束的意义）原则是一个等式减少一个自由度，不等关系不减自由度但约束操纵杆的移动范围。所有操纵杆的自由度的和，减去所有牵制关系所减掉的自由度，就是这道题目真实的自由度。这个自由度的用处就是判断系统是运动的还是静止的，用来给我们一个在读完题后的大方向

4、判断,除此之外没啥用处（因为除此之外给不了我们实质的信息）。于是我们可以总结如下：存在性问题，它的本质意义就是在探讨：是否存在一种情况，使得所有的变量在符合所有约束的同时也让命题成立，而如何选取变量进行分析，我们需要借助自由度的思想去按部就班地看待问题。2、存在性问题的处理手段我们在上面探讨过，存在性问题遇到多变量，消元未必能完全成功，变量之间无法完全互相表达，如ex-A3=m-eA-m,我们无法将X完全转化为关于m的表达式，m也是同理，然而，也许我们未必能够成功，但是我们必须有意识地去尝试那么处理，能消掉多少是多少，毕竟变量越少，我们越熟悉，实现减元的过程，实际上也是利用约束的过程，相当于提

5、前让一部分变量符合了条件去进行分析,可以说是一举两得。此外,还要注意变量的自由度与独立性，尽可能的在式子中将独立变量孤立出来，即类似“分离参数”的解题手段进行适当的分析对于高考来说，我们比较常见的是确定主元分析，以零点存在性定理为载体，确定主元后判断所需要的参数范围以及方程的根是否满足条件，当然，在此阶段最重要的是减元，理清变量关系，画图或举例分析使得更为具体，对于函数语言结合几何语言的翻译与想象也是重中之重。除此之外，对于一些较为抽象的数列或者其他问题中,存在性的证明多采用构造法，赋值法或极端性原理（即取最大的或最小的元素）为好.证明“不存在”才用到反证法.一般说来，结论中有“不”或隐含“不”的问题才用反证法.大多数的问题还是应当用直接证法，而直接证明方法的思路来源，便应当来自于对前文的提示的挖掘了。