17 简单的不定方程方程组.docx

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1、17简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能惟一确定，这样的方程（组）称为不定方程（组）.对于不定方程（组），我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解.加上这类限制后，解可能惟一确定，或只有有限个，或无解.这类问题有以下两种基本类型：1 .判定不定方程（组）有无整数解或解的个数；2 .如果不定方程（组）有整数解，求出其全部整数解.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程求其整数解.解不定方程（组），没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式估值、穷

2、举、分离整数、配方等知识与方法.根据方程（组）的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程（组）的基本思路.2例题巧求解例1满足19982+疗=i9972+（oV1998）的整数对（m,n）共有对.（全国初中数学联赛试题）解题思路由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解解.例2以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式，a、b、c、d、e、f各代表一个数（不一定相同），则以a+b+c+d=（）.（“五羊杯”邀请赛试题）（A）27（B）24（C）30（D）无法确定解题思路视丽、彳为整体，将多元问题转化为解二元一次不定方程.abcdefX4efabcd例3求方程+=2的正整数解.Xyz6（

3、“希望杯”数学邀请赛试题）解题思路易知x、y、Z都大于1,不妨设kxyWz,-,将复杂三元不定方程转xyz化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出结果.例4某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角收费.己知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分（用电按整度计算），问甲、乙两家各交了多少电费？（北京市“迎春杯”竞赛题）解题思路甲、乙两家用电度数情况有多种可能，在分析甲、乙两家用电情况的基础上，将问题转化为解不定方程.例5甲、乙、丙三人共解出IOO道数学题，每人都解出了其中的60道题，将

4、其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试题难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道题？（第十二届江苏省竞赛题）解题思路100道数学题有三类：难题、容易题、两人都解出的题，题中可供利用的等量关系只有两个,显然,将三元一次不定方程组转化为解二元一次不定方程是解本例的基本思路.能力训练A级1.若Y+4/_。+4+=0,则ab=.42,已知4x3y-6z=0,x+2y-7z=0（xyz0）,贝!|W+，的值等于.x+5y+7z3 .1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是岁.（第九届“希望杯”邀请赛试题）4 .设方程f-y2=1993的整数解为/,贝IJ1a

5、m=5 .X,y都是质数，则方程x+y=1999共有（）.（北京市竞赛题）（A）I组解（B）2组解3组解（D）4组解6 .方程199OX-1989y=1991的一组正整数解是（）.（A）X=12785,y=12768（B）X=13827,y=12623（C）X=11936,y=11941（D）X=12785,y=1277077 .一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的1倍，则这样4的两位数有（）.（A）I个（B）2个（C）4个（D）无穷多个8 .小英在邮局买了10元邮票，其中面值0.10元的邮票不少于2枚，面值0.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面

6、值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了（）枚邮票.（“五羊杯”邀请赛试题）（A）17（B）18（C）19（D）209 .小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗所用大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个？10 .是否存在整数m,n满足m2+2003=/,若存在，请求出全部整数对（m,n）值;若不存在，请说明理由.11 .己知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积.（“希望杯”邀请赛试题）B级1 .如果a、b、C满足a2+2b2+2c2*2ab2bc6c9=0,那么（abc）2=.（“祖冲之杯”邀请试题）2 .已知X,y为正偶

7、数，且2y+xy2=96,则x+y?=.3 .一个四位数，用16除余13,用125除余122,则满足条件的最小的四位数是.4 .购买十种货物：AnA2.A3-A10,如果在这十种中购买的件数依次是1,3,4,5,6,7,8,9,10,11件，共需人民币1992元；如果购买的件数依次是1,5,7,9,11,13,15,17,19,21件，共需人民币3000元，那么在这十种货物中各买一件时，共需人民币.（北京市“迎春杯”竞赛题）5 .若正整数X、y满足X?72=y2,则这样的正整数对（x,y）的个数是（）.（A）I个（B）2个（C）3个（D）4个6 .有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、

8、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需（）元.（A）6元（B）8元（C）9元（D）Io元7,在方程组R；Q,x,y,z是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为（）.（第九届“希望杯”邀请赛试题）（A）6（B）3（C）多于6（D）少于38 .一个两位数中间插人一个一位数（包括0）,就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有（）个.（A）I（B）4（C）IO（D）超过109 .李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上元与角.分数字看倒置了（例如，把12.34元看成了3

9、4.12元），并按着错的数字支付，李林将其款花去3.80元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问李林应退回的款额是多少元？（“五羊杯”邀请赛试题）10 .某人乘坐的车在公路上匀速行驶,从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起,一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里程碑上的数各是多少？（“勤奋杯”竞赛杯）11 .某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为完全并减少损失，需将油抽干后进行维修.现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干.要在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽？（“五羊杯”竞赛题）