专题37 几何最值之费马点问题热点专题（含答案解析）.docx

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1、专题37几何最值之费马点问题【热点专题】专题37几何最值之费马点问题方法技巧问题分析费马点指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点.主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120。的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题.（2）当三角形有一个内角大于120。时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60。f构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题模型展示：如图，在C内部找到一点P,使得刃+P5+PC的值最小.当点尸满足口4尸8=口8尸。=5

2、=120。，则以+P8+PC的值最小，尸点称为三角形的费马点.特别地，口/5。中，最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此时费马点就是最大角的顶点力（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120）费马点的性质：I.费马点到三角形三个顶点距离之和最小.2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120。.最值解法：以任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值.证明过程：将4PC边以4为顶点逆时针旋转60。，得到/0E,连接尸。，则口力P。为等边三角形,PA=PQ.BPPA+PB+PC=PQPB+PC,当8、P、0、E四点共线时取得最小值IJ题型精讲【例1】1 .

3、如图，四边形ABCD是菱形，A5=6,且C=600,历是菱形内任一点，连接AM,BM,CM,则4M也W+CM的最小值为.2 .如图，四边形力BC。是正方形，/3E是等边三角形，M为对角线8。(不含5点)上任意一点，将绕点4逆时针旋转60。得到连接N、AM.CM.(1)求证：AAMB均ENB；(2)门当M点在何处时，4M+CA/的值最小；当M点在何处时，力+5M+CW的值最小，并说明理由;(3)当4+8M+C的最小值为百+1时，求正方形的边长.祐蕨同3 .如图，已知矩形力8CZAB=4,8C=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则以4+MZ）+ME的最小值为.4 .如图，四边形ABCD

4、是菱形，AB=4,HABC=ABE=60o,G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将AABG绕点B逆时针旋转60。得到AEBF,当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）B.竽r33V-/.35 .如图，已知矩形48CZAB=4,8C=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则A+MZ）+ME的最小值为.6 .已知正方形48CO内一动点E到力、B、C三点的距离之和的最小值为0+#，求正方形的边长.7 .已知：ABC是锐角三角形，G是三角形内一点.ZAGC=ZAGB=ZBGC=120.求证：G4+G8+GC的值最小.8 .若P为49C所在平面上一点，且NAPB=NBPC=NCp4=120。，

5、则点尸叫做口45。的费马点.(1)若点P为锐角口/BC的费马点，且口45。=60。，PA=3fPC=4,贝IJPB的值为；(2)如图，在锐角FBC外侧作等边&ACe连结B夕.求证：过口/BC的费马点P,3.BBf=PA+PB+PC.9 .在正方形ABCD中，点E为对角线AC(不含点A)上任意一点，AB=22;(1)如图1,将ADE绕点D逆时针旋转90。得到ADCF,连接EF；把图形补充完整(无需写画法)；，求七尸的取值范围；(2)如图2,求BE+AE+DE的最小值.10 .已知，如图，二次函数y二以2a一3a(.H)图象的顶点为“，与X轴交于人、两点(8点在A点右侧)，点、8关于直线/：y=*

6、x+J对称.(1)求A、B两点的坐标，并证明点A在直线/上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线3KAH交直线/于K点，M、N分别为直线AH和直线/上的两个动点，连结HN、NM、MK,求HN+NM+MK的最小值.参考答案:1 .63【分析】以为边作等边BMN,以BC为边作等边口3CE,如图，则BCM8EM由全等三角形的对应边相等得到CM=NE,进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE.当/、M、N、E四点共线时取最小值力及根据等腰三角形“三线合一的性质得到3HE,AH=EH,根据30。直角三角形三边的关系即可得出结论.【详解】以为边作等边3MM以BC为边作等边口BCE,则BM=BN=M

7、MBC=BE=CE,8N=C8E=60o,MBC=1NBE,UBCMU1BEN,CM=NE,4M+MB+CM=4M+MN+NE.当力、M、N、E四点共线时取最小值/E.AB=BC=BE=6,ABH=QEBH=6QotQBHJAEtAH=EHt匚”=30。，BH=b=3,AH=/3BH=33AE=2AH=6J.故答案为6道.【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质.难度比较大.作出恰当的辅助线是解答本题的关键.2 .见解析(2)口M的中点，B0与CE的交点处，见解析0【分析】(1)根据等边三角形的性质，得出口5=N5E,然后即可证明AMB:ENB,(2)根据两点之间

8、线段最短可知当M点落在80的中点时，根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短,匚连接CE,当M点位于与CE的交点处时，/M+BM+CM的值最小，(3)过E点作即口8。交CB的延长线于尸，设正方形的边长为达，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出BF=立X,EF=在R1EFC中,勾股定理建立方程，解方程即可求解.【详解】(1)解：是等边三角形,DBA=BEfABE=60.MBN=600,口ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.即BM4=;NBE.UMB=NB,AMB=ENB(SAS)(2) AM+MCAC, 当M点落在30的中点时，4W+CM的值最小口如图，连接CE当M

9、点位于8。与CE的交点处时，理由如下：连接A/N.由(1)知，一AMBgENB,口AM=EN. MBN=60。,MB=NB, BMN是等边三角形. BM=MN.QAM+BM+CM=EN+MN+CM根据“两点之间线段最短“，得EN+MN+CM=EC最短 当M点位于8力与CE的交点处时，/M+8M+CM的值最小，即等于KC的长（3）过E点作M8C交CB的延长线于尸， ZEF=90o-60o=30o.设正方形的边长为X,则Bb=立X,EF=；.22在电口EFC中，EF2+FC2=EC2,口（名+（冬+x）2=（3+D2,解得，X=y2（舍去负值）.正方形的边长为,【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股

10、定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键.3. 4+33【详解】【分析】依然构造60。旋转，将三条折线段转化为一条直线段.分别以4）、力M为边构造等边口4。尸、等边口MG,连接/G,易证匚/MDJUAGFtMD=GFME+M4+MD=ME+EG+GF过户作FHBC交BC于H点、,线段尸，的长即为所求的最小值.4. D【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长. 将ZkABG绕点B逆时针旋转60。得到AEBF, BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

11、BFG是等边三角形.口BF=BG=FG,. AG+BG+CG=FE+GF+CG.根据“两点之间线段最短”， 当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长,过E点作EFnBC交CB的延长线于F, EBF=I80o-120o=60o, BC=4, BF=2,EF=23,在RSEFC中，EF2+FC2=EC2, EC=43. CBE=120o, BEF=30o,EBF=ABG=30o,EF=BF=FG, EF=-CE=,33故选：D.【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题,正确的作出辅助线是解题的关键.5.4+33【详解】【分析】依

12、然构造60。旋转，将三条折线段转化为一条直线段.分别以40、4M为边构造等边口4。尸、等边口/MG,连接/G,易证匚4MO口4G尸，CMD=GFME+M4+MD=ME+EG+GF过户作FHBC交BC于H点、,线段尸，的长即为所求的最小值.6.2【分析】连接/C,把口力改绕点C顺时针旋转60。，得至J口G尸C,连接E尸、BG、AG,线段BG即为点E到/、B、C三点的距离之和的最小值，此时民尸两点都在BG上，根据正方形的性质以及勾股定理求得BO+GO即可求解.【详解】如图，连接力G把/EC绕点C顺时针旋转60。，得到GFC,连接E尸、BG.AG,则E尸C、力GC都是等边三角形，EF=CE.又FG=

13、AE,UAE+BE+CE=BE+EF+FG.点夙点G为定点（G为点4绕C点顺时针旋转60。所得）.线段8G即为点E到4、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、尸两点都在BG上.设正方形的边长为，那么BO=CO=昱a,GC=,GO=&a.22BG=BO+GO=-a+a.22点E到力、B、C三点的距离之和的最小值为0+6.-a+-a=y2+4t解得。=2.22正方形的边长为：2.【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，等边三角形的性质，旋转的性质，掌握费马点最值问题的解法是解题的关键.7.见解析【分析】求证GA+G8+GC的值最小，构造图形使得GA,GB,GC在同一条直线，即可

14、求出答案.【详解】证明：将48GC绕点C逆时针旋转60。，连GP,DB,贝IJNCGB三ACPD、NC尸D=NCGB=I20。，CG=CP,GB=PD,BC=DC,ZGCB=ZPCD, NGC尸=60。， ZBCD=60,/XGCP和ABCD都是等边三角形， ZAGC=120o,ZCGP=60,口A、G、P三点一线. NCPD=I20。,NbG=60。， G、P、。三点一线， AG、GP、Po三条线段同在一条直线上. GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD,G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点【点睛】本题主要考查三角形的变换问题，通过构造三角形，确定边的关系，掌握和理解求边的关系需要将边构造在一条直线上是解题的关键.8.(1)23(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得ZU8P8CP,所以P82=PAPC,即08=26；(2)在Be上取点尸，使6PC=12(连接/P,再在9上截取?E=PC,连接CE.由此可以证明PCE为正三角形，再利用正三角形的性质得到PC=CE,PCF=60o,NCEe=120。,而AC9为正三角形，由此也可以得到Ac=BC,ZACBt=60,现在根据已知的条件可以证明aACPgaBtCE,然后利