专题37 几何最值之费马点问题热点专题(含答案解析).docx
《专题37 几何最值之费马点问题热点专题(含答案解析).docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题37 几何最值之费马点问题热点专题(含答案解析).docx(18页珍藏版)》请在第一文库网上搜索。
1、专题37几何最值之费马点问题【热点专题】专题37几何最值之费马点问题方法技巧问题分析费马点指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点.主要分为两种情况:(1)当三角形三个内角都小于120。的三角形,通常将某三角形绕点旋转60度,从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上,利用两点之间线段最短解决问题.(2)当三角形有一个内角大于120。时,费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧:旋转60。f构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题模型展示:如图,在C内部找到一点P,使得刃+P5+PC的值最小.当点尸满足口4尸8=口8尸。=5
2、=120。,则以+P8+PC的值最小,尸点称为三角形的费马点.特别地,口/5。中,最大的角要小于120。,若最大的角大于或等于120。,此时费马点就是最大角的顶点力(这种情况一般不考,通常三角形的最大顶角都小于120)费马点的性质:I.费马点到三角形三个顶点距离之和最小.2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120。.最值解法:以任意一边为边向外作等边三角形,这条边所对两顶点的距离即为最小值.证明过程:将4PC边以4为顶点逆时针旋转60。,得到/0E,连接尸。,则口力P。为等边三角形,PA=PQ.BPPA+PB+PC=PQPB+PC,当8、P、0、E四点共线时取得最小值IJ题型精讲【例1】1 .
3、如图,四边形ABCD是菱形,A5=6,且C=600,历是菱形内任一点,连接AM,BM,CM,则4M也W+CM的最小值为.2 .如图,四边形力BC。是正方形,/3E是等边三角形,M为对角线8。(不含5点)上任意一点,将绕点4逆时针旋转60。得到连接N、AM.CM.(1)求证:AAMB均ENB;(2)门当M点在何处时,4M+CA/的值最小;当M点在何处时,力+5M+CW的值最小,并说明理由;(3)当4+8M+C的最小值为百+1时,求正方形的边长.祐蕨同3 .如图,已知矩形力8CZAB=4,8C=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则以4+MZ)+ME的最小值为.4 .如图,四边形ABCD
4、是菱形,AB=4,HABC=ABE=60o,G为对角线BD(不含B点)上任意一点,将AABG绕点B逆时针旋转60。得到AEBF,当AG+BG+CG取最小值时EF的长()B.竽r33V-/.35 .如图,已知矩形48CZAB=4,8C=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则A+MZ)+ME的最小值为.6 .已知正方形48CO内一动点E到力、B、C三点的距离之和的最小值为0+#,求正方形的边长.7 .已知:ABC是锐角三角形,G是三角形内一点.ZAGC=ZAGB=ZBGC=120.求证:G4+G8+GC的值最小.8 .若P为49C所在平面上一点,且NAPB=NBPC=NCp4=120。,
5、则点尸叫做口45。的费马点.(1)若点P为锐角口/BC的费马点,且口45。=60。,PA=3fPC=4,贝IJPB的值为;(2)如图,在锐角FBC外侧作等边&ACe连结B夕.求证:过口/BC的费马点P,3.BBf=PA+PB+PC.9 .在正方形ABCD中,点E为对角线AC(不含点A)上任意一点,AB=22;(1)如图1,将ADE绕点D逆时针旋转90。得到ADCF,连接EF;把图形补充完整(无需写画法);,求七尸的取值范围;(2)如图2,求BE+AE+DE的最小值.10 .已知,如图,二次函数y二以2a一3a(.H)图象的顶点为“,与X轴交于人、两点(8点在A点右侧),点、8关于直线/:y=*
6、x+J对称.(1)求A、B两点的坐标,并证明点A在直线/上;(2)求二次函数解析式;(3)过点B作直线3KAH交直线/于K点,M、N分别为直线AH和直线/上的两个动点,连结HN、NM、MK,求HN+NM+MK的最小值.参考答案:1 .63【分析】以为边作等边BMN,以BC为边作等边口3CE,如图,则BCM8EM由全等三角形的对应边相等得到CM=NE,进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE.当/、M、N、E四点共线时取最小值力及根据等腰三角形“三线合一的性质得到3HE,AH=EH,根据30。直角三角形三边的关系即可得出结论.【详解】以为边作等边3MM以BC为边作等边口BCE,则BM=BN=M
7、MBC=BE=CE,8N=C8E=60o,MBC=1NBE,UBCMU1BEN,CM=NE,4M+MB+CM=4M+MN+NE.当力、M、N、E四点共线时取最小值/E.AB=BC=BE=6,ABH=QEBH=6QotQBHJAEtAH=EHt匚”=30。,BH=b=3,AH=/3BH=33AE=2AH=6J.故答案为6道.【点睛】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质.难度比较大.作出恰当的辅助线是解答本题的关键.2 .见解析(2)口M的中点,B0与CE的交点处,见解析0【分析】(1)根据等边三角形的性质,得出口5=N5E,然后即可证明AMB:ENB,(2)根据两点之间
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 专题37 几何最值之费马点问题热点专题含答案解析 专题 37 几何 费马点 问题 热点 答案 解析