专题38 几何最值之胡不归问题热点专题（含答案解析）.docx

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1、专题38几何最值之胡不归问题【热点专题】专题38几何最值之胡不归问题,方法技巧问题分析从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着胡不归？胡不归？”“道看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型展示：如图，一动点P在直线MN外的运动速度为VI,在直线MN上运动的速度为V2,且V13BF;(2)如图3

2、,当点E为AB中点时，点M为8E中点，点N在边AC上，且DN=2NC,点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60。得到线段EP,连接FP,当NP+gP最小时，直接写出AOPN的面积.3 .己知抛物线y=+法+c(w)过点A(1,0),4(3,0)两点，与轴交于点&OC=3.(1)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；过点A作A13C,垂足为M，求证：四边形AOBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当P8C面积最大时,求点P的坐标：(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个提分作业4 .如图，J1BC中，AB=AC=IO

3、,UmA=2,BEAC于点E,。是线段BE上的一个动点，则C。+亚8。的最小值是.55 .在平面直角坐标系中，将二次函数y=r2(O)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与X轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA=,经过点A的一次函数y=H+力仕WO)的图象与丁轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为力，AB。的面积为5.(1)求抛物线和一次函数的解析式：(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；3(3)若点尸为X轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+gPA的最小值.6 .已知抛物线y=f一反+c,C为常

4、数，力0)经过点4-1,0),点时(见0)是工轴正半轴上的动点.(I)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；(II)点。S,如)在抛物线上，当AM=AD,加=5时，求b的值；(HI)点QS+J,yq)在抛物线上，当点AM+2QM的最小值为三旦时，求b的值.7 .如图，已知抛物线y=J(x+2)(x-4)(左为常数，且左0)与X轴从左至右依次交O于A,B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=*+”与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与ABC相似，求人的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一

5、点（不含端点），连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到E再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少.参考答案:1. 33【分析】过点尸作PQ_1AO于点。，由于NPoQ=60。，因此PQ=*PO,由此可知当8、P、Q三点共线时PB+且PD有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.2【详解】过点P作PQ144垂足为Q,四边形A8C。是平行四边形，：,DCHAB,：.NQDP=NDAB=60。,Pe=PDsinZQDP=立PD,2:PB+PD=BP+PQ,2当点B、P、Q三点共线时PB+且PD有最小值，2/

6、7，P3+1P。的最小值为A3Xsin60。=312故答案为：373.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.2. (1)&T；见解析；(2)半【分析】(1)连接AG,根据题意得出4BC和AGM均为等边三角形，从而可证明GBCGACf进一步求出40=3,AG=BG=243,然后利用勾股定理求解即可；以点尸为圆心，阳的长为半径画弧，与8”的延长线交于点K,连接KF,先证明出八BFK是顶角为120。的等腰三角形，然后推出尸砧且尸K,从而得出结论即可；(2)利用“胡不归”模型构造出含有30。角的直角三角形，构造出NP+g/WP

7、=NP+8,当N、P、J三点共线的时候满足条件，然后利用等边三角形的性质及判定、矩形的判定及性质以及解直角三角形的知识分别计算出PN与ON的长度，即可得出结论.【详解】(1)解：如图所示，连接AG,由题意可知，4ABC和AGEr均为等边三角形，ZGFB=60o, ：BD1ACf：.NFBC=30。,ZFCB=30ofNACG=30。， ；AC=BC,GC=GC,GCGAC(SAS),ZGAC=ZGBC=90o,AG=BG,VAB=6,.AO=3,AG=BG=2下,，在ADG中，DG=AD2+AG2=J(23)+32=T DGV2T:证明：以点尸为圆心，尸B的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K

8、连接KR如图, 加先:和4GM均为等边三角形，.NABC=60,NEFH=I20。,ZBEF+ZBHF=180, ：NBHF+KHF=80,：.NBEF=NKHF,由辅助线作法可知，FB=FK,则NK=NFBE 8。是等边A48C的高，：.NK=ZDBC=/084=30,.ZBFK=20o,在乙户仍与FHK中,/FEB=NFHK NFBE=NKFB=FK：,MEBWAFHK(AAS),：.BE=KHt：.BE+BH=KH+BH=BK,*：FB=FK1NBFK=I20。,；.BK=小BF,即：BE+BH=&F；(2)方法一：以“为顶点，MP为一边,作/PM1=30。，M1交BD于G,过尸作于“，

9、设Mp交8。于K,如图：RtPMH中，HP=MP,.NP+gP最小即是NP+P最小，此时N、P、”共线,将线段环绕点E顺时针旋转60。得到线段EP,.尸在射线QE上运动，则尸在射线叱上运动，根据“瓜豆原理”，产为主动点，P是从动点,E为定点，NFEP=60。，则尸、P轨迹的夹角NQKP=N/痔=60。，BKM=S。，.ZABZ）=30。，:BMK=骄,./PM1=30。,BM1=软八:.Z1BM1=3s.M1AC,:.ZHNA=180。-NPHM=90,而班）_1AC,.Zbdc=AHNA=ZPHM=90,.四边形GM）是矩形，.-.DN=GH,边MBC中，AB=6,BD1AC,.CD=3,又

10、DN=2NC,：.DN=GH=2,等边AABC中，Ae=6,点E为AB中点时，点为的中点,3-BM=,BD=BsinA=6sin60o=33,133/TRtBGM中，MG=二BM=IBG=cos30=-,244:.MH=MG+GH=tGD=BD-BG=44RtMHP,HP=MHtan30。=小叵,1243:.PN=HN-HP=GD-HP=,3：.SSNDN=警方法二：如图，连接EQ,ZA=60o,ZBDA=90o,ZABD=3O0,点。分别为A5、BD的中点,：,EQ为AA8。的中位线，：.EQHAD1，NBEQ=NA=60。，ZBE=ZBD=90o,VZBQE=90ofZBD=30o,:,E

11、Q=gBE,Y点M为的中点，:.ME=；BE=EQ, 将线段EF绕点、E顺时针旋转60。得到线段EP,.EP/7为等边三角形，NPEF=3,PE=EF=PF,：.NBEQ=ZPEFf：NBEQNPEQ=NPEFNPEQ,即NMEP=ZQEFf在4MEP与小QEr中，ME=EQ ZMEP=ZQEf,PE=EF：.AMEPWAQEF(SAS)：./EMP=NEQF=90。,：.MP1BEf 点P在射线MP上运动，如图，以M为顶点，MP为一边,作NPM1=30。，M1交BD于G,过P作/WJ1何1于H,设叱交B。于K,.NP+gMP最小即是NP+HP最小，此时N、尸、”共线，如下图:VZEP=90o

12、,NpM1=30,BM1=I80。一/EMP-NPM1=3,ZBM1=ZA,:.M1IIAC,AHNA=I80。-NPHM=90。,又YBOJ_AC,.ZBDC=ZHNA=ZPHM=90,四边形GMVD是矩形，在等边SABC中，AB=6,BDA.AC,.CD=3,又DN=2NC,.DN=GH=2,在等边中，A3=6,点E为48中点时，点为把中点，3 BM=-,BO=A8sinA=6sin60。=36， 在RtBG中，MG=-BM=-,BG=BMcos300,244.MH=MG+GH=-tGD=BD-BG=姮,44 在RtZM”尸中，HP=MHtan30。=,124J3:.PN=HN-HP=GD-HP=-,301，143C43 S&dpn=qPNDN=-2=-【点睛】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线.3.抛物线的表达式为：y=r-4x+3,顶点。(2,-1)；证明见解析；点PI，一*(4)存在，AQ+3。C的最小值为W巨.【分析】(1)设交点式y=a(x-1)(x-3),利用待定系数法进行求解即可;(2)先证明四边形ADBM为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证；(3)先求出直线BC的解析式，过点P作y轴的平行线交BC于点N,设点P(