专题27 特殊三角形考点巩固（含答案解析）.docx

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1、专题27特殊三角形【考点巩固】-【中考高分导航】备战2023年中考数学考点总复习（全国通用）专题27特殊三角形网考点1：等腰三角形的性质与判定（202，江苏苏州市）1 .如图.在RtZXABC中，ZC=90o,AF=EF.若NCFE=72。,贝J8=（2023江苏南京市中考真题）2 .如图，在四边形ABCD中，AB=BC=BD.设NABC=,!JZADC=（用含。的代数式表示）.B（2023四川资阳市中考真题）3 .将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2,将图2沿虚线45剪开，再将一AOB展开得到如图3的一个六角星.若NCDE=75。，则NoBA的度数为.（

2、2023山东中考真题）4 .如图，在4BC中，NABC的平分线交AC于点。，过点D作DE/BC；交A8于点E.（2）若ZA=80。,/0=40。，求N瓦把的度数.（2023台州）5 .如图，已知Aa=AC,AD=AEt8。和CE相交于点O.（1）求证：ZkABDgZiACE;（2）判断ABOC的形状，并说明理由.考点2：等边三角形的性质与判定（2023四川凉山彝族自治州中考真题）6 .如图，等边三角形ABC的边长为4,。的半径为5,P为AB边上一动点,过点尸作OC的切线PQ,切点为。，则PQ的最小值为.（2023台州）7 .如图，等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别

3、过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀，则剪下的ADEF的周长是.A（2023凉山州）8 .如图，点P、Q分别是等边ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发.（1）如图1,连接AQ、CP求证：ABQCAP（2）如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M,NQMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M,NQMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.考点3：直角三角形的性质（2023衡阳）9 .如图，在48C中，Z

4、B=ZC,过8C的中点。作DF1ACt垂足分别为点、E、F.（1）求证：DE=DF;（2）若N8OE=40。，求NBAe的度数.（2023泰安）10 .小明将两个直角三角形纸片如图（I）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，NACfi与NECD恰好为对顶角，NABC=NcoE=90。，连接80,AB=BD,点尸是线段CE上一点.探究发现:（1）当点尸为线段C石的中点时，连接。尸（如图（2）,小明经过探究，得到结论:1加.你认为此结论是否成立？.（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD1DF,则点尸为线段C石的中点.请判断此结论是否成立.若成立，请写

5、出证明过程；若不成立，请说明理由.问题解决：（3）若A8=6,CE=9,求Ao的长.（2023常德）11 .已知。是Rt48C斜边月8的中点，NACB=90。，NABC=30。，过点。作RSDEF使/。石尸二90。，ZDFE=30,连接CE并延长CE到P,使EP=CE,连接BE,FP,BP,设BC与OE交于M,PB与EF交于N.（1）如图1,当。，B,尸共线时，求证：EB=EPtNErP=30。；（2）如图2,当。，B,尸不共线时，连接8尸，求证：NBFD+NEFP=30.考点4：勾股定理及其逆定理（2023四川凉山彝族自治州中考真题）12.如图，JIBC中，NAe8=90。,AC=8,8C=

6、6,将VAPE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（）C.25TD.参考答案：1. 54【分析】首先根据等腰三角形的性质得出/A=NAER再根据三角形的外角和定理得出Z+ZEF=ZCre,求出/A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出NB的度数即可.【详解】尸=EF,：ZA=ZAEF,：ZA+ZAEF=ZCFE=720,.NA=36。，/ZC=90o,Z+ZB+ZC=180o,.NB=I80。-NA-Ne=54.故答案为：54.【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键.2. 180o-0r2【分析】由等腰的性质可得：ZADB=90o-ZBD,

7、ZBDC=90-ZCBD,两角相加即可得到结论.【详解】解：在AABO中，AB=BD：.ZA=ZADB=(180o-ABD)=90-ZAfiD在88中，BC=BDZC=ZBDC=(180o-ZCBD)=90o-ZCBD.ZABC=ZABD+NCBD=a：ZADC=ZADB+ZCBD=90o-ZABD+90o-ZCBD22=180o-(ZABD+ZCBD)2=180o-ZABC2=180o-a2故答案为：180。-；。.【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出NADB二90o-Izabd,NBDC=90。-3/。?。是解答本题的关键.3. 135【分析】利用折叠的性质，

8、根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题.【详解】解：连接OC,EO360由折叠性质可得：ZEOC=-=30,EC=DC,OC平分NECoZECO=-ZECD=-(180o-275)=1522ZOEC=180o-ZECo-ZEOC=135即NOBA的度数为135。故答案为：135。【点睛】主要在考查折叠的性质，学生动手操作的能力，也考查了等腰三角形的性质及内角和定理，掌握折叠及等腰三角形的性质正确推理计算是解题关键.4. (1)见详解；(2)ZBDE=30。【分析】(1)由题意易得NABO=NC瓦NC6O=NEO8,则有NAE)=N的，然后问题可求证；(2)由题意易得NABC=60。，则有N

9、AB。=NC即=30。，然后由(1)可求解.【详解】(1)证明：.BD平分NABC,：.ABD=CBD,：DEHBC,/.NCBD=EDB,ZABD=ZEDb,，BE=DEx(2)解：YZA=80。,NC=40。，；ZABC=180o-ZA-ZC=60o,由(1)可得ZABD=NCBD=/BDE=300.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键.5. (1)见解析；(2)等腰三角形，理由见解析.【分析】(1)由“SAS可证AABDACEi(2)由全等三角形的性质可得N4BQ=NACE,由等腰三角形的性

10、质可得NA8C=NAC8,可求NoBC=NOCB,可得BO=C0,即可得结论.【详解】证明：(1)VAS=ACfZBAD=ZCAEtAD=AE,ABDACE(S4S)；(2) ZiBOC是等腰三角形，理由如下：AfiDCE,：NABD=/ACE,VAB=AC,：NABC=NACB,：.ZABC-NABD=NACB-ZACEf：NOBC=/OCB,：,BO=CO,.,.BOC是等腰三角形.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键.6. 3【分析】连接。和PC利用切线的性质得到CQ_1P。，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP1A5,再求出CP,利用勾股定

11、理求出PQ即可.【详解】解：连接QC和PCPQ和圆C相切，：.CQVPQy即ACPQ始终为直角三角形，CQ为定值，.当CP最小时，P。最小,48C是等边三角形，.当CPJ时，CP最小，此时CPJ_48,VB=BC=C=4,：.AP=BP=Ii：,CP=-Jac2-AP2=23，圆C的半径CQ=1,PQ=yCP2-CQ2=3,故答案为：3.【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC_148时，线段PQ最短是关键.7. 6【分析】先说明ADEF是等边三角形，再根据E,F是边BC上的三等分求出BC的长，最后求周长即可.【详解】解：

12、Y等边三角形纸片ABC：ZB=ZC=60oVDE/7AB,DFAC：ZDEF=ZDFE=60oDEF是等边三角形ADE=EF=DFVE,F是边BC上的三等分点,BC=6EF=2DE=EF=DF=2/.DEF=DE+EF+DF=6【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三等分点的意义，灵活应用等边三角形的性质是正确解答本题的关键.8. (1)证明见解析；(2)不变；60：(3)不变；120.【分析】(1)根据点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，可得BQ=AP,结合等边三角形的性质证全等即可；(2)由(1)中全等可得NCPA=NAQB,再由三角形内角和定理即可求得NAMP的度数，再根据

13、对顶角相等可得NQMC的度数；(3)先证出ACB尸三A4CQ,可得NQ=NP,再由对顶角相等，进而得出ZQMC=ZCBP=120.【详解】解：(1)证明：Y三角形ABC为等边三角形，AB=AC,NABC=NCAB=60。， 点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，/.BQ=AP,ABQCAB中，AB=AC /ABC=NCABBQ=APaabq=acap(sas).(2)角度不变，60,理由如下： ：AABQ二G4P/.ZCPA=ZAQb,在ZkAMP中，ZAMP=I80o-(ZMAP+ZCPA)=180o-(ZMAP+ZAQB)=NABC=60, NQMC=NAMP=60,故NQMC的度

14、数不变，度数为60。.(3)角度不变,120,理由如下:当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，WAP=BQ,ABP=CQ NABC=NBCA=60,.*.ZCBP=ZACQ=120o,BC=ACNCBP=NACQBP=CQ：.CBPAC(S4S)/.ZQ=ZP,：ZQCM=ZBCP,/.NQMC=NCBP=I20。，故NQMC的度数不变，度数为120.【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质证全等是解题的关键.9. (1)见解析；(2)ZBAC=SO0.【分析】(1)DE1AB,Z)E1AC可得/BE。=/。)=%。，由于NB=NC,。是BC的中点，AAS求证BEDgZSCFD即可得出结论.(2)根据直角三角形的性质求出NB=50。，根据等腰三角形的性质即可求解.【详解】(1)证明：DE1AB,DF1AC,：.NBED=NCFD=9伊,。是BC的中点，：.BD=CD1在BED与二CFD中,ZBED=XCFDNB=NC,BD=CD：Abedwacfd(