布朗运动及其应用.docx

《布朗运动及其应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《布朗运动及其应用.docx（23页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、布朗运动及其应用【摘要】：布朗运动作为一个简单的、连续的随过程，其发展随着物理和金融模型随机行为的发展在不停地进行着。这种随机行为的典型例子是气体分子的随机运动和资产定价的波动。布朗运动的应用很广泛，例如，图像中的噪声建模，分形生成，晶体生长和股票市场的模拟。本文开始对布朗运动包括其发现和之后的发展进行了概括性的介绍并探索了布朗运动和正态过程的关系以及布朗运动的一些性质，布朗运动有许多有意思的性质，其中包括连续性和轨道几乎处处不可微的性质。并且无论对这种性质理解得多么透彻，这个性质看上去仍然很像布朗运动的性质，最后会对布朗运动在金融领域某些方面的应用进行探索。【关键字】：布朗运动；正态运程；连

2、续；可微Abstract：Brownianmotion(WienerProcess)isasimp1econtinuousstochasticprocessthatiswide1yusedinphysicsandfinancemode1ingrandombehaviorthatevo1vesovertime.Examp1esofsuchbehavioraretherandommovementsofamo1ecu1eofgasorf1uctuationsinanasset,sprice.Brownianmotionhasawiderangeofapp1ications,inc1udingmode

3、1ingnoiseinimages,generatingfracta1s,growthofcrysta1sandstockmarketsimu1ation.Thisartic1ewi11firstconcentrateonintroducingBrownianmotioninc1udingitsdiscoveryanddeve1opmentgenera11y.Ita1sostudiesthere1ationshipbetweenBrownianmotionandNorma1processaswe11asitsproperties.Brownianmotionhasanumberofotheri

4、nterestingproperties.Oneisthatrea1izations,whi1econtinuous,aredifferentiab1enowherewithprobabi1ity1.Rea1izationsarefracta1s.Nomatterhowmuchyoumagnifyaportionofgraphofarea1ization,theresu1tsti111ooks1ikearea1izationofaBrownianmotion.Fina11ytheartic1ewi111ookintosomeapp1icationsofBrownmotioninthefinan

5、cia1wor1d.keywords：Brownianmotion；Norma1process；continuous；differentiab1e；目录第1章弓I言3第2章关于布朗运动的概念和定义32.1 基础概率知识32.2 随机过程基础概念4第3章随机游动与布朗运动63.1 简单随机俳徊的数学表达及分布63.2 简单随机过程逼近布朗运动73.2.1 由Chapman-Ko1mogorov方程逼近73.2.2 中心极限定理的方法：8第4章布朗运动概率密度及其性质94.1 有限维布朗运动的联合概率密度函数94.1.1 两个随机向量的概率密度转换公式94.1.2 有限维布朗运动的联合概率密度函数

6、:94.2 布朗运动的性质114.2.1 布朗运动的正向马尔可夫性114.2.2 轨道性质：布朗运动的几乎所有轨道都不是有界变差124.3 布朗运动与正态过程14第5章布朗运动的应用155.1 布朗运动在金融市场的应用155.2 首中时与最大值165.3 带有漂移的布朗运动165.4 几何布朗运动22结语23第1章引言布朗运动（BrOWnianmotion）最初是由英国生物学家布朗（R.Brown）于1827年根据观察花粉微粒在液面上作“无规则运动”的物理现象而提出的，在布朗之后，这一问题一再被告提出，为此有许多学者进行过长期的研究。一些早期的研究者简音的把它归结为热或电等外界因素引起的。19

7、05年，爱因斯坦依据分子运动论的原理提出了布朗运动的理论。就在差不多同时，斯莫卢霍夫斯基也作出了同样的成果。他们的理论圆满地回答了布朗运动的本质问题。爱因斯坦（Einstein）首次对这一现象的物理规律给出了一种数学描述，使这一课题有了显著的发展，这方面的物理理论工作在Smo1uchowski,Fokker,P1anck,Burger,FurthOrnstein,Ub1enbeCk等人的努力下迅速发展起来了，但数学方面却由于精确描述太困难而进展缓慢。Pau11eVy从1910起数十年的工作,对Brown运动的研究有着深远的影响，他的著作ProcessessStochastiquesetmouv

8、enmentbrownnien（1948年第一版，1965年第二版）至今仍对这方面的研究工作有许多启示与参考价值。直到1918年才由维纳（Wiener）对这一现象在理论上做出了精确的数学描述，构造出了一个概率空间（Wiener空间）及其上的随机过程来刻画Einstein的物理严格意义下的Brown运动。因而Brown运动也叫做Wiener过程。Wiener的论文Differentia1space,J.Mathandphoys02.131-174是Brown运动研究的里程碑，可以这样说，由Einstein首创而Brown运动的数学模型，由1evy与Wiener大地发展深化了。这些工作使之成为现代

9、概率论的重要部分。至今，由于大量的数学家与自然科学家的工作，Brown运动及其泛涵的研究不断深入发展，它已成为随机过程的两大基石之一,它不仅渗透到偏微分方程、调和分析、计算方法、控制等各数学领域，而用在生物、化学、物理、力学、工程、经济管理、金融等学科中Brown运动也成为不可缺少的研究工具，它是“噪声”与“涨落”等随机现象的典型，并提供处理的参考模式。第2章关于布朗运动的概念和定义2.1 基础概率知识Definition2.1.1测度空间：设下为由。的某些子集构成的非空集类，若满足：（1）若AB则AC是A的补集，即AC=O-A；（2）若AnHnN,则Unnn咒则称尸为。域（。代数），称（Q,

10、手）为可测空间。容易验证，若下为域，则下对可列次交、并、差等运算封闭，即下中的任何元素经可列次运算后仍属于E例：集类R)=0,A,Ti=0,A,AJ)及T2=A:A)是域，但集类4=0,A,)不是域。通常最关心的是包含所木研究对象的最小域.设4为由的某些子集构成的集类.一切包含4的域的交，记为”4),称为由4生成的域，或称为包含4的最小域。概率空间是概率论的基础，概率的严格定义基于这个概念。它是是一个总测度为1的测度空间，下面是概率空间的定义。definition2.1.2概率空间：设(C,手)为可测空间，P是一个定义在尸上的集函数，若满足：(1) P(A)0,AuT(非负性)(2) P(C)

11、=I;(规一性)(3)若AiEi=1,2,.,且AiAj=0,ij,有P(Un4)=工P(4)(可列可加性)则称P为可痴空间(。，手)上的一个概率测度(PrObabi1itymeaSUre),简称概率(Probabinty).称(,RP)为概率空间(Probabi1itySPace),称尸为事件域.若AH则称A为随机事件(randomevent),简称为事件，称P(A)为事件A的概率。Definition2.1.3条件概率与条件分布函数：设随机变量(X,Y)及任一随机事件B下，记即IB是B的示性函数.显然P(B)=E(IB(3).称E(Ib(3)Y)金P(B1Y)为事件B关于随机变量Y的条件概

12、率，此时P(B1Y)是随机变量且是Y的函数，对于任意xK取B=(:Xx),称F(xY)P(XxY)二E(RY)为X关于Y的条件分布函数.2.2 随机过程基础概念如果我们把一系列的随机变量按时间的演化放在一起，则得到一个随机过程。Definition2.2.1随机过程：设对每一个参数tT,X(t,3)是一个随机变量，称随机变量族X=X(t,),tT为一随机过程(StoChaStiCProCeSS)或称随机函数.其中TU肽是一实数集，称为指标集.用映射来表示Xt,X(t,),TR,即XQ是定义在TXQ上的二元单值函数，固定tT,X(t,J是定义在样本空间Q上的函数，即一随机变量.对于3C,X(.，

13、)(t在T中顺序变化)是参数tT的一般函数，通常称X(.,3)为样本函数，或称随机过程的一个实现，说是一条轨道.记号X(3)有时也写为Xt()或简记为X(t)或XtXT的取值也可以是复数，Kn或更一般的抽象空间(tT)可能取值的全体所构成的集合称为状态空间，记作SS中的元素称为状态。Definition2.2.2独立增量过程：对t1Vt2V.Vtn,tiT,1in,若增量相互独立，则称Xt,tT为独立增量过程(PrOCeSSwithindependentincrement).若对一切0st,增量X1XS的分布只依赖于ts则称XT有平稳增量.有平稳增量的独立增量过程简称为独立平稳增量过程.常见的

14、泊松(PoSSion)过程和维纳(Wiener)过程就是两个最简单也是最重木的独立平稳增量过程。Definition2.2.3马尔可夫过程：一随机过程，若已知现在的t状态Xt,那么将来状态XU(Ut)取值(或取某些状态)的概率为过去状态XS(SVt)取值无关，或更简单地说，已知现在，将来与过去无关(条件独立)，则称此性质为马尔可夫性(无后效性或简称马氏性).具有这种马尔可夫性的过程称为马尔可夫过程.精确定义：随机过程Xt,tT,若对任意tvt2VVtnVt,Xb1in,及AU肢，总有P(XtAXt1=x,Xt2=X2,.,Xtn=n)=P(XtAXtn=Xn).则称此过程为马尔可夫过程(Mar

15、koVPrOCess),简称马氏过程.Definition2.2.4布朗运动：标准Brown运动。或者简称Brown运动，又称Wiener过程，是定义在某一概率空间(Q,RP)上的满足下列条件的随机过程Wt(),t0,1 .o=O;2 .具有独立增量过程：对任意的0tovtvVtnWs-Wt0,Wt2-Wte.,Wtn-W1之间相互独立；3 .增量服从正态分布：W1WS服从N(O,ts)的正态分布,Vts0.4 .具有连续的样本轨道：存在一个零概率集NF,使得对任意的3NSWt()作为t的函数关于t连续。definition2.2.5n维布朗运动：Wt=W1t,W2t,，WnJt0是取值为Rn的随机过程,若满足(1)对0t1t2.0,增量W1WS为n维正态分布，其概率密度函数为P(t,)=exp(-q,xRn,(2t)2zc其中IIX1I=(”.对每一3,Wt(3)是t的连续函数.Definition2.2.6正态过程：如果随机过程Xt