托普卡普卷轴上的伊斯兰几何图案星形排列.docx

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1、托普卡普卷轴上的伊斯兰几何图案星形排列托普卡普卷轴是研究伊斯兰几何装饰的重要文献来源。本文给出了它的一些典型的星形图案的数学分析，说明了各种各样的建设方法。亮点包括一个结合9点和11点星的设计，以及另一个13点和16点星的设计。我们表明，通过利用模板侧面的反射复制模板来产生设计的实践限制了所产生的对称类型的范围。特别地，三重对称性的缺乏与矩形模板的专用有关。通过将传统上在正方形模板中看到的星形分布转换为等边三角形中的等效排列，我们产生了新的伊斯兰风格的三重对称设计。1 .介绍伊斯兰几何艺术是一种独特的艺术，其特点是连锁的星形和多边形网络，在局部和整体范围内的高度对称以及各种形式的重复。这些设计

2、通常以某种网格的形式展示出来，但是在最终产品中，大部分潜在的几何形状对观众来说是隐藏的，观众只能惊叹于互补形状的复杂相互作用。虽然构造的基本方法本身并不复杂，但它们能够作为几何游戏的一种形式进行精心制作和变化，这种灵活性提供了极其丰富的设计来源，只受设计师的想象力和独创性的限制。到了13世纪，艺术家们开始制作非常复杂的设计，包括看似不相容的星形的优雅组合，以及包含不同比例互补图案的设计。虽然我们有一些手册记录了当时的几何形状，但没有当代来源解释伊斯兰艺术的设计原则。大师级工匠将他们的方法作为商业秘密进行保护，但他们确实以卷轴的形式进行记录，其中包含模板和其他图案制作备忘录。幸运的是，在伊斯坦布

3、尔托普卡普宫的图书馆里保存了一件1500年左右的杰出作品。托普卡普卷轴（手稿H.1956）是研究伊斯兰几何装饰的重要文献来源。它包含一系列绘制在独立页面上的几何图形，首尾相连，形成一个高约33厘米、长约30米的连续页面。它不是一本如何做的手册，因为没有正文，但它不仅仅是一本图案书，因为它显示了结构线。Necipog1u进行了一项详细的研究，考察了卷轴的艺术、历史和哲学背景，但她很少谈到个别图案或其构造的数学特性。她的书包含了卷轴的一半大小的彩色复制品，还包括注释，以显示照片中看不到的用铁笔在纸上刻划的结构线和标记。本文中对托普卡普卷轴编号图板的引用使用15中的编号。卷轴上的图形混合了书法、用于

4、建筑的设计（muqarnas、砖的图案和圆顶），以及具有更广泛应用的二维几何图案的模板。我们将集中讨论后一类。当模板被重复使用以产生完整的图案时，它们会显示出高级的设计，显示出艺术和对风格的掌握，并且包括一些我在其他地方没有见过的图案。在这篇文章中，我提供了数学分析的一些更了不起的设计在卷轴，集中在星星图案与不寻常的性质。2 .由反射产生的设计很大一部分伊斯兰图案具有镜像对称。在一个图案上绘制所有的镜像线将它划分为多个区域，每个区域都可以用作模板来重新生成整个图案。只要镜面线不都平行，区域就是有限的。图1显示了7种可能性。左边和右边的拼块通过阴影来区分。拼块被标记以破坏它们固有的对称性;在9）

5、中片并块本身是不对称的，所以不需要标记。图1拼块侧面反射产生的镶嵌效果。(a)pmmz(b)p3m1,(c)p4m,(d)p6m,(e)cmm,(f)p4g和(g)p31mo重复图案的对称性已经被很好地理解了。二维重复图案有17种对称类型，通常被称为墙纸群。在这篇文章中，我们只使用对称类型的标签一一理解理论是没有必要的。对称性的解释及其在非数学家模式分析中的应用可以在19中找到。1中说明了许多伊斯兰教的例子，尽管读者应该意识到一些对称类型被错误地标识(例如，当模板携带具有非平凡对称的母题时，可能会出现这种情况)。Grunbaum和ShePhard8使用模板和反射的属性来确定交错伊斯兰设计中不同

6、形状的丝带组件的数量。图1中的每个拼块都标有其对称类型。前四个设计是通过复制一个不对称的图案产生的，被称为原始设计。如果拼块上的装饰不是不对称的，设计的对称类型可能会改变。在图1(e)至(g)中，拼块装饰有旋转对称的图案。具有原始类型pmm的矩形拼块产生了另外两种布置：具有双重旋转对称的图案产生了cmm对称类型的设计；如果矩形拼块是正方形的，图案可能具有4重对称性，这导致p4g类型。如果原始类型p3m1中的等边三角形拼块带有具有三重对称性的图案，则该设计将具有p31m对称类型。伊斯兰艺术中对称类型的频率分布极不均匀。在标准三角形、正方形或菱形格子的顶点排列合适的星形图案的简单方法产生了p6m、

7、p4m和Cmm对称类型一一最常见的类型。相反，三重组P3、p3m1和p31m非常罕见。图2中显示了一些例子，但是前两个例子有些牵强。在(a)中，对称类型是p3,只是因为装饰标记将拼块分为两类一一未标记的拼块(称为安达卢西亚图案)的类型是p6o(b)中的图案来自琼斯口1,P1e44#15z在那里它被描述为来自波斯手稿；(C)是从Bourgoin的收集2,PI7.这种稀缺性部分是由于理论上的限制:许多伊斯兰镶嵌是等面的(在对称群下拼块传递)，并且不存在具有对称群p3m1的无标记拼块的等面镶嵌。7图2一些三重对称的伊斯兰图案。(a)p3,(b)p3m1和(C)p31mo托普卡普卷轴中约40%的图板是

8、二维几何图案的模板，多为星形图案。模板是矩形的，并且通过矩形侧面的反射来复制。当从模板创建设计时，只需翻转模板即可获得镜像拼块。一些设计具有对称类型p4m或p6m,在这些情况下，模板包含基础区域的一个以上的拷贝。这种通过反射矩形模板产生设计的偏好是排除产生三重对称的另一个因素。3 .具有对称性p4g和p31m的设计继p6m、p4m和cmm之后，在伊斯兰饰品中发现的最常见的对称类型之一是p4go如图Mf)所示，它的模板是一个带有四重旋转对称的图案。有两种常见的配置用于生成具有p4g对称性的星形图案：将星星放置在正方形的边缘上，使得每个星星的镜像线位于边缘上(ii)将具有4n2个点的星星放置在正方

9、形的角上星星沿着正方形的边缘钉到凹痕对齐。作为每种类型的示例，图3(a)和(b)分别示出了卷轴的图板61和68a中的模板，图3(c)和(d)示出了它们生成的设计。图板61的设计简洁优雅：所有线条以90。交叉，线条改变方向的角度都是135。，区域只有三种形状:一个规则的8/2星形、一个有两个直角的五边形和一个狗骨形。图板81a是另一种类型的例子；它使用不规则的7点星。具有类型(ii)配置的其他图板是59(具有6点星)、66和72c(都具有点点星)。图3托普卡普卷轴61和68a的对称群p4g设计在BoUrgOin2的p4g设计中，板170是具有规则7点星的类型设计(其构造由Hankin在10中解释

10、)，板27-30都是具有6点星的类型(ii)。卷轴图板59中的模板生成Bourgoin的图板27中的设计。图4显示了使用等边三角形代替正方形作为基础来执行等效的构造是可能的。在中，12点星形沿着模板的边缘放置，而在(b)中，9点星形放置在拐角处。在第二种情况下，我们可以使用任何具有6n+3个点的星。（C）和（d）部分展示了他们生成的设计一一在每种情况下，模板都旋转了90o在土耳其马拉蒂亚的U1uCamii（大清真寺）有一个传统的9角星设计，如图4（d）所示4,16o图4作者用对称群p31m的原始设计卷轴的图板35显示了更复杂的设计（图5）,p4g对称，包含8点和12点星。它不像其他图板那样是一

11、个模板，而是显示了一大块设计，上面画了一条线，以说明如何将一个图案放入拱门。图6显示了两个更简单但相关的设计。它们包含排列在正方形格子(对称类型p4m)和三角形格子(p6m)的顶点上的相同的12点玫瑰图案，并且分别与Bourgoin板118和78非常相似。部分(b)中的阴影矩形是卷轴的图板63中的模板。部分中的阴影正方形可用作图板35中设计的模板，在拐角处稍作修改后，显示图5可归类为类型。图5使用托普卡普卷轴图板35中的对称组p4g进行设计然而，图5的底层结构有一个更简单的解释。请注意，图6(a)中相邻12点星的中心确定了一个包含8点星的正方形，图6(b)中相邻星的中心确定了一个中间有3个分叉

12、区域的等边三角形。这些区域如图7(a)和(b)所示；图板35可以通过根据图7(c)布置它们来构造。从这个角度来看，图板35是基于顶点类型为33.4.3.4的阿基米德密铺，12点星形以顶点为中心。(a)(b)图6正方形格子和三角形格子的顶点上排列有相同的12点玫瑰图案的两种设计。图7托普卡普卷轴图板35的结构38号图板的设计也采用了类似的程序38号图板是画卷中色彩最丰富、细节最详细的图板。这是一种两层模式的例子，在这种模式中，形成大尺度模式的路径网络被铺上小尺度模式。路径网络在图8中以白色显示一一卷轴中的插图对应于右下四分之一。带有框架的矩形格式是典型的。在本例中，通过将图7(a)和(b)中的正

13、方形和三角形的图案应用到图8中的白色区域，提供了小比例的图案。在卷轴中，38号图板的颜色是一致的:规则的星星有浅蓝色的中心，周围环绕着黑色的风筝，12点玫瑰有白色的花瓣，8点玫瑰有黄色的花瓣，不规则的5点星星是红色的，其他区域是淡粉色的。大多数区域还带有黑色图案，看起来有点像雪花或鸟的脚印。这类工作通常在低图层执行，图8中灰色区域被抬高，并用装饰性拼块覆盖，较小的比例图案沿着中间的通道运行。图9显示了一个来自伊朗伊斯法罕的Darb-iImam（伊玛目的神社）的例子。图8托普卡普卷轴图板38的结构图9伊斯法罕Darb-iImam的两层设计。照片IRA0903来自大卫韦德的收藏口刀。卷轴的图板49

14、是这种类型的另一个例子，其他五个图板包含不同形式的2级模式一一它们在5和6中讨论。4.设计有不同寻常的星星组合在比较简单的星形图案中，星形和玫瑰图案就像晶格中的顶点一样分布。一些星星的组合非常自然地适合这种方法:例如，8和12点的星星排列在正方形格子上，就像国际象棋棋盘上的黑白方块，或9和12点的星星排列在三角形格子上。其他的星星组合的对称性似乎与彼此不兼容，也与标准的网格和格子不兼容，但艺术家们仍然找到了将它们纳入优雅设计的方法。图10(d)示出了由托普卡普卷轴的图板42产生的设计。它的构造可以解释为多边形接触(P1C)方法结合9点和11点星的经典应用。(Bonner4也讨论了这种模式，1e

15、e(2009年5月，私人通讯)已经表明，存在2n-1点和2n1点的星组合的类似设计序列。)PK构造具有底层镶嵌，其中许多拼块是正多边形。这种设计是通过将星星图案应用到正多边形上，然后将形成星星的线条延伸到相邻的拼块上，直到它们遇到附近星星产生的类似线条。图10(a)中的部分平铺是基于一个规则的11边形，它具有从其角向外辐射的辐条。这些辐条单元被组装成之字形列，在页面上以镜像对的形式排列。辐条与11边形的边长相同，因此连接的六边形是等边的。仍然需要扩展平铺以覆盖由虚线包围的中心区域。相交于P点的四条线中的每一条都穿过11边形之一的中心和顶点。这两条线之间的夹角约为81.8度。在图IO(C)中，一

16、个规则的九边形被插入到空间中，其中心在p处。它的顶点不在四个半径上，因此最终设计中的星形图案不会完全对齐，但误差小于Io如图所示，通过连接9边形和11边形的顶点来完成PIC构造的平铺。为了生成图案，在每个立体边缘的中点对称放置一对线条；这些线被延长，直到它们遇到其他类似生产的线。如果仔细选择线对之间的角度，箭头图案的尖端会接触虚线，并在六边形的中心会合。这产生了图10(b)。图10(d)显示了完成的设计。从9和11边形产生的星形图案是规则的，但它们的玫瑰状延伸来自不规则五边形和六边形的连接细胞结构，是扭曲的。图10托普卡普卷轴第42幅的9点和11点星形图案。P1C技术由Hankin9提出,BOnner3,4开发和改进，KaP1an12,13