文化的对称性：如何用对称性分析装饰图案？.docx

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1、文化的对称性：如何用对称性分析装饰图案？1晶体图案和数学历史SPeiSer（1927）在他简短的群论史前史中提出，高等数学的起源（当时认为是在公元前500年左右的希腊）应该追溯到一千年前埃及人使用一维和二维图案（见Jones1856对这种设计的说明）。在他看来，创造这些具有许多复杂对称性的二维图案，是一项重大的数学发现。与这些埃及人相比，后来的希腊人，在其他方面对几何学的研究是非常深刻的，似乎对这种无限的图案不太感兴趣。然而，他们发展了有限设计理论以正多边形的形式，特别是正三角形、正方形、正五边形和正六边形到一个很高的水平。欧几里得详细分析了5个正多面体，后来又分析了13个阿基米德多面体。这两

2、类多面体都可以解释为球面上的图案。然而，希腊人显然没有强调平面中类似的（无限的）图案:三种规则的镶嵌和八种半规则的镶嵌。在这些希腊构造之后，几百年来几乎没有纯粹的数学研究记录。但拉文纳和君土坦丁堡的拜占庭工匠及其在威尼斯的继承人，以及整个地中海和东至印度的伊斯兰图案制作者的工作，都在进行我们必须认为是数学的工作。虽然他们没有称自己为数学家，但回过头来看（参见Mu11er1944）,我们发现他们的方法和结果都具有重要的几何内容。文艺复兴时期，意大利艺术家和建筑师大量使用有限设计。人们认为达芬奇有意识地研究有限设计的对称性,并确定所有这些设计，以便能够在不破坏整体对称性的情况下附加小教堂和壁龛。他

3、的结论现在被称为莱昂纳多定理（Martin1982:66）,即唯一可能的（单色）有限设计是那些仅具有旋转对称性的设计，如纳粹党所用的万字符（图1Ia）,以及那些既具有旋转对称性又具有反射对称性的设计，如希腊十字架（图11b）或正方形。图1.1a带有旋转对称的万字符图11b带有旋转和反射对称的十字我们将使用符号c4来表示具有四重旋转对称性但没有反射对称性的设计，如生字形。更一般地说，cn表示任何只具有n重旋转对称性的设计,如具有n个臂的i字。对于具有反射对称性的相应设计，我们使用符号dno因此，希腊十字和正方形具有d4型对称性，正六边形具有d6型对称性。在意大利，喷泉形式的其他规则多边形随处可见

4、。一个典型的例子是佩鲁贾的马焦雷喷泉，它有两层，上层具有12倍（即D12）旋转对称性，下层具有25倍旋转对称性。阿西西圣基亚拉的玫瑰花窗有15倍和30倍的对称性(MUnariI966:63)o维也纳圣斯蒂芬大教堂的讲坛交替着三重(C3)和四重(C4)对称(Wey11952:67)。在利内堡的圣约翰尼斯教堂里，人们发现了一组不同寻常的C3、C4、C5、c6和c7对称性的例子，它们被雕刻在木头上，模仿哥特式窗户。丢勒的几何书(1525年)把这些和其他关于正多边形的信息带到了德国，供艺术家们使用。一百年后，开普勒对正多面体进行了仔细的研究，并于1611年写了一本关于雪花的专著，其中他考虑了平面上的圆

5、和空间中的球的堆积。开普勒的工作可以被认为是晶体学的先驱，十九世纪对晶体学的研究导致了直到最近我们几乎所有关于重复模式的数学信息。在19世纪早期，Hesse1发现了30种主要的晶体(即三维重复模式)，这些晶体至今仍在使用。布拉维(BraVais)、乔丹(JOrdan)、索恩克(Sohncke)s巴洛(BaHoW)和舍恩弗里斯(Sehoenf1ieS)的名字在费多洛夫1891年发表的全部230个三维重复图案的完整清单中发挥了重要作用。幸运的是这230个图形和BrOWn,Bu1owzNeubuser,Wondratschek和ZaSSenhaUSQ978)最近歹(举的4783个四维图形与平面图形的

6、研究没有直接关系。单色图案1891年，费多罗夫还发表了17种二维(单色)图案的计数。因为这篇论文只出现在俄语中，并且对结晶学没有多大兴趣，直到20世纪20年代，通过Nigg1i(1924,1926)和Po1ya(1924)的论文，一维及二维模式的分类才被普遍知晓。Speiser群论文本的第二版(1927年)第一次引起了数学家对这些结果的关注。SPeiSer采用了Nigg1i使用的符号，但不幸地互换了两个NiggIi符号。这一错误的后果影响了以后五十年的数学文献。它最终被SChattSChneider(1978)纠正。福图纳泰利兹结晶学家们继续走自己的路，所以这个错误不会出现在他们的工作中。正是

7、由于斯皮塞的学生伊迪丝穆勒，我们才有可能第一次系统地使用这些工具来分析物质文化。她1944年的论文是对阿尔罕布拉图案艺术的详细研究。虽然穆勒经常被认为发现了那里所有的17个单色平面图案，但她只明确地提到了11个；另外两个在其他地方有记录。(在第二章解释的符号中，穆勒记录的11个是p1,pmg,cmzpmm,cmmzcmm,p4,p4m,p3,p6和p6moGrunbaum和ShePhard1986记录了P31m和PmJoes1856:P1O41,5记录PG不明确。)。直到1987年，西班牙数学家和拓扑学家的共同努力才提供了阿尔罕布拉地区所有17种单色平面图案的记录。在SPeiSer之后，特别是

8、在Coxeter(1961)xFejesToth(1964)sBurckhardt(1966)xGuggenheimer(1967)xCadWe11Q966)以及CrDaffer和C1emens(1976)等人的数学著作中，开始更频繁地讨论单色带和平面图案。洛克伍德和麦克米伦(1978年)和马丁(1982年)的新书广泛涉及这些话题。在这些参考文献中，后四篇可能是非数学家最容易理解的。Schattschneider（1978年）的论文也值得推荐。2几何在设计中的应用:历史先例除了结晶学之外，人们对几何对称原理应用于其他领域的兴趣是零星的。重新发明轮子在文献中随处可见，因为许多人分别发现对称性可以

9、是一种有用的分析工具。许多作者似乎不知道其他类似的工作，而且似乎直到最近十年，这些孤立的开创性介绍几乎没有后续。我们在这里简短的历史讨论仅仅是对这一重要领域的文献的介绍。我们不能保证提供这些工作的详尽清单。在不知名的期刊上发表，以及许多这些研究的孤立、独特的性质，使得遗漏几乎是必然的。然而，我们希望在这里讨论对称性在分析装饰物体中的主要应用。世纪之交的社会和科学活动似乎促进了对设计的关注。由于工业革命的机器可以无休止地印制和编织图案，因此非常需要对这些新的材料财富进行编码和排序。与此同时，人文领域的学者们也在对探险家积累的大量文物进行分类，并将其带入新的秩序，这些探险家已经开始在博物馆里装满他

10、们环游世界的文物。有趣的是，在此期间，尽管结晶学家和设计师都在描述重复图案，但他们似乎都没有注意到其他人的工作。作为一种数学练习，结晶学家得出了晶体结构的几何形状，但设计师们有实际需要以某种系统的描述方式组织来自国内外的无数图案。尽管设计师们看到了图案固有的节奏和重复，但他们从未发现图案的对称性可以更系统、更准确、更客观地描述图案。文学家们出版了大量的纲要，说明了来自世界各地以及史前和历史上各个时期的图案。早期的例子是弗朗茨萨尔斯迈耶的装饰品手册Q894）。迈耶将所有的几何装饰分为丝带状的形式（带）、有边框的图形（面板）和无边框的平面图案，这些通常分别对应于一维、有限和二维类别。迈耶将辅助线系

11、统（形成马赛克等几何图案所需）称为网，为这个术语在二维平面图案布局中的普遍使用埋下了伏笔。另一个例子，一本关于机织物装饰设计的教科书（StePhenSon和Suddards,1897年）向学生展示了如何制作重复的图案，不是通过指定几何运动，而是通过说明基本的布局，如水滴图案（Cmm）、翻转图案（pg）、棉缎（各种二维图案）、以及边框和条纹（各种一维图案）。学生们将这些作为基本的布局，他们可以在上面重复各种各样的主题。反变换一词适用于其形状被设计成在地上留下完全相似和相等的形状的图案（1897:18）。此时出现了一整套设计百科全书有些是精心制作的对开式插图设计，来自某一地区或媒介，如Per1eb

12、erg的秘鲁纺织品（N.D.）、C1ouzotsOrgansN0gres（N.D.）xF1envmig的纺织百科全书（N.D.）xDo1metsch的DerOrnanieiiterischat（1889年）和racinefUornoneiitPo1ychroz(1869年)。其他人则试图涵盖世界范围内的设计。斯佩尔茨的三卷本所有历史风格的彩色装饰品(N.D.,1914,1915)涵盖了从古代到现代的图案。哈姆林(1916年)写了一部从原始时期到哥特式时期的装饰史，和迈耶一样，他把装饰图案分为线性的、全面的和辐射的一他的名字指的是我们将在这里研究的三类设计：一维图案、二维图案和有限设计。还有一些

13、作家试图就图案的构成进行一些讨论。在这方面，有四卷特别值得注意：欧文琼斯的装饰的语法(1856),zW和G.奥德斯利的主导风格中的装饰大纲(1882),刘易斯戴的装饰及其应用(1904),以及阿奇博尔德克里斯蒂的图案设计(1929)。他们的许多工作都非常接近于通过几何对称性来描述图案。奥德斯利的目标说明书也许是对这一时期设计活动和兴趣的最好概括。在过去的二十年里，在这个国家和其他国家已经出版了大量重要的装饰品作品，但我们确信，我们现在摆在公众面前的这份更简陋的作品仍有存在的空间，因为它在目标和处理上与之前的任何作品都有所不同。在这个方向上，像欧文-琼斯的装饰品语法和拉西内特的多色装饰品这样规模

14、大、内容丰富的作品在我们这个时代可能不会再出现了。它们提供了装饰性和观赏性设计的极好的集合，根据产生这些设计的各自国家或流派进行分组，并为装饰艺术家和观赏者提供了几乎取之不尽的灵感源泉，如果它们有什么不足之处的话-它们没有直接和清楚地将每种装饰性设计的真正范围呈现在学生眼前。清楚地给他留下结构原理的印象，并指出这些原理是如何被不同的艺术家和不同的艺术时代所修改或发展的。(1882:序言)奥德斯利根据不同的布局对图案进行分类:条纹、条纹尿布、交织、粉末、尿布和传统树叶。术语图案必然意味着由一个或多个器件组成的设计，这些器件以有序的顺序倍增和排列。一个单一的装置，无论它本身多么复杂或完整，都不是图

15、案，而是设计者根据某种明确的行动计划可以组成图案的一个单元。(1929:1)克里斯蒂把所有的装饰分为两大类:在地面上点状的孤立单元，和在地面上呈条状的连续单元。(克里斯蒂的背景和我们的背景是一样的，下面讨论和定义。)他举了许多例子，说明各种各样的图案是如何通过交织、分支、互锁和对换等过程从这些类型发展而来的。他认识到，不同的设计可以从相同的单元简单地通过将它们不同地排列成斑点和条纹来构建。结构方法，而不是使用的元素，是分类的唯一基础，克里斯蒂看到他的模式分类大体上遵循动物学家制定的路线，动物学家将所有活着的和灭绝的生物分成明确定义的类别(1929:77,66,59)o安德烈亚斯斯皮塞(Andr

16、eaSSpeiser)(1927年)和他的学生伊迪丝穆勒(EdithMu11er)(1944年)的作品(在上文第1.2节中讨论)可能是外人首次尝试以重复的模式描述对称性。到了20世纪30年代，唯美主义者和设计师都注意到了重复图案中固有的几何形状。例如，数学家乔治大卫比尔霍夫斯认为，西方音乐的形式结构是一个数学问题，可以用公式M=OC来定义，其中M是任何物体相对于O的审美尺度，G是它的复杂性。后来，他开发了花瓶和其他物品的美学测量公式。他把装饰品定义为任何在一个表面上描画、绘制、浮雕或以其他方式制作的图形只要至少有一种可能的运动将图形作为一个整体而不是逐点地移动到它的初始位置(1933:49)。此外，在他著名的著作美学测量(1933)中，他定义并说明了四种对称