321 基本不等式的证明.docx

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1、QJb3.2基本不等式V0b-7(,b0)3. 2.1基本不等式的证明课标要求素养要求1 .掌握基本不等式7wW2（N0,b0）.2 .能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.课前预习知识探究自主梳理基本不等式如果。，是正数，那么也运?（当且仅当=b时等号成立）.我们把不等式两忘守（小820）称为基本不等式.（2）当,8R时，的W色与旦（当且仅当=/?时等号成立），色宇）（当且仅当a=b时等号成立）.f2-1-Ifi+力不等式2和亍2%中“=”成立的条件相同吗？都是当且仅当a=b时等号成立.但适用于0,Z?20,6fZ

2、?,适用于mbWR.自主检验1 .思考辨析，判断正误（1）当x0时，x+；22.（X）提示只有当x0时，x+22才成立.(2)审，的对任意实数,8都成立.(X)提示只有当且620时，空才能成立.crb(3)当小bR时，HWy成立.(J)(4)+f2.()提示只有当红0,即时0时，(+2T=2才成立.2 .设0水从且。+=1,在下列四个数中最大的是()A.BbC.2abD.a+b1答案BZ、2解析法一,ab,.,.2ah20,-2五，/b-y9：b-(a1+b2)=(b-b2)-a1=b(-b)-a1=aba2=a(bd)0,.ba1+b2i:b最大.3-83-4,1-4-，02+2=,故选B.

3、O3 .下列不等式中正确的是()4A.+-4B.cr+b24abaC.yabaD.x2+A23答案D4解析若0,则十言4不成立，故A错误；若=1,b=1,则a2+b24abi故B错误；若=4,8=16,则70,b0,a+b=2,则下歹U不等式bW1;ya-yby2i(3)2Z722;+2,对满足条件的小b恒成立的是（填序号）.答案解析因为时（83=1,所以正确；因为（如+亚）2=+b+2，=2+2yah2+a+h=4i故不正确；2+济?（）一=2,所以正确；（+=甯=*2,所以正确.课堂互动题型剖析题型一利用基本不等式比较大小【例1】设0。力，则下列不等式中正确的是（）1 a-bIa-bA.a

4、byjab-2B.aabbC.aabbr-D.yabab答案B解析法一.（）4仇/.ayabayB.yxC.x2yD.yy2x比较大小：正有一_2（填“2”或“W”）答案（I）B（2）2解析(I)Vtz,b是不相等的正数，9y2=(ya+b)2=a+b=z+6+ba+b+2(也+也)1122=2Vx0,0,.yx.(2#=迎+1+,1+产2,当且仅当x2+1=不与即X=O时,等号成立.题型二利用基本不等式证明不等式2122一/厂【例2】已知a,b,c0,求证：-+-a+b+a262g证明V,b,c0,利用基本不等式可得不+b22,c2Z?,2c,252Zj2W7+b+c22+2b+2c,故石+

5、N。+力+c(当且仅当a=b=c时，等号成立).思维升华利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之满足能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系.当已知条件中隐含有“1”时，要注意力”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到.【训练2】已知0,b0,a-b=1,求证：8:21茄+-1-b+-30+u)z21-b+必41-Jp+-1-。-1茄十1-b+-IJ-?9,a+b=1,60,b09J+:=+号=2+小组2+2ababbaH+/亲河当且仅当4=时等号成

6、立)(2)法一.q0,b0fah=1,I+%】+安=2+告同理，i+E，U如护b+的I=5+2+5+4S=9(1+(1+)9(当且仅当=/?=；时等号成立)由知,G+/茄28,故(1+力(1+/=1+5+/+白，9(当且仅当=出等号成立).题型三用基本不等式求最值角度1求简单代数式的最值9【例3】(1)已知x0,求x+.的最小值；(2)已知加，0,且机+=16,求品的最大值.9gO解TqO,由基本不等式可得x+：221/*;=6,当且仅当X=;,即=3人1人时，等号成立，所求的最小值为6.(2)Vzn,nOt且机+=16,，由基本不等式可得w(n)=(竽)=64当且仅当?=8时，Zn取到最大值

7、64.*jtnn的最大值为32.角度2利用配凑法求最值【例4】(1)已知冗求y=4x2+耳的最大值；(2)已知Oxg,求y=(1-2x)的最大值.解(1)Vx0,R=412+止=-(5-4升占+3-2/(5-4x)-+3=1,当且仅当54x=-,即x=1时，上式等号成立，54X故当X=I时ymax=1(2)V0x0,2/.y2x(1-2x)(2+2=星=七当且仅当2x=1乂040时，求；+4X的最小值；(2)当0,G0)在X=3时取得最小值，求。的值.12解(1)VO,A0,4x0.12/12-+4x2/4x=83.XMX当且仅当5=4x,即X=小时取最小值8#,当x0时，y+4x的最小值为8

8、3.(2)V0.则4+(4x)=83,当且仅当三=4X时，即x=一小时取等号.1n-+4x一83.v12当x与等2迎，都是带有等号的不等式，对于“当且仅当B寸，取=”这句话的含义要有正确的理解.中，=伙,8R)=/-b2=2ab1中，a=b(c,b?G)=(2)在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.-，技层U11练F素养提升I基础达标I一、选择题1 .不等式/+24中等号成立的条件是()A.=4B.a=2C.a=-y2D.a=2答案D41解析此不等式等号成立的条件为。2=$,即=5,故选D.已知y=x+；2(x0)

9、,则y有()答案C解析Vx0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为()A.16B.25C.9D.36答案B解析因为x0,y0,且x+y=8,所以(1+x)(1+y)=1+x+y+y=9+jtyW9+(gj=9+42=25,当且仅当x=y=4时“=”成立，故(1+x)(1+y)的最大值为25.4 .设=2,q=空,r=f咛丸a0),则下列关系式正确的是()A.tjqpB.qprC.qfpD.r=qp答案A解析*.*baOt.*.a2+h22ab9.7I,71f9.cr+b1(+Z?)22(a2+b2)(a+b)29一,.cr-b2abV2a-br-又-ab11a2+b2ab-2-yab

10、,即rqp.5 .(多选题)下列求最值正确的是()4A. y=x+1的最小值为4IB. =再彳30）的最大值为2C. y=x1+*(K1)的最小值为0D.y=yx2+41x2+4的最小值为2答案BC解析A中，没有考虑x0,y0,2r3y=6,则Xy的最大值为.3-2案答7 解析因为x0,yO,2x+3y=6,所以盯=23y悬件片)8 .设小8为非零实数，给出下列不等式：2心出冲（空；皇与黑；f+评淇中恒成立的是（填序号）.答案解析由不等式a?+/?，可知正确;+庐_2(片+阴_(+/)+(标+1)标+2帅_(+b)2_2=4=4-4=4=2(W2)，可知正确；当0=8=1时，=-1,-=-可知不正确；2ab2当=1,8=1时，可知不正确._,rI(x+10)(A1+2)曰、，9 .已知x1,则的最小值为.答案164y1(x+10)(x+2)(x+1+9)(x+1+1)解析=(x+1)2+o(X+1)+9x+1