731 三角函数的周期性.docx

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1、7.3三角函数的图象和性质7.3.1 三角函数的周期性课标要求素养要求1 .理解周期函数，最小正周期的定义.2 .会求正、余弦函数和正切函数的周期.3 .能够判断实际问题中的周期.通过周期函数的定义和周期函数在实际中的应用，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.课前预习知识探究自主梳理1.周期函数条件函数x)的定义域为A,如果存在一个韭雯常数T,对于任意的都有x+TA,且於土0=於)结论函数7U)叫作周期函数，非零常数7叫作这个函数的周期2.最小正周期条件对于一个周期函数7U),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数结论这个最小的正数叫作兀V)的最小正周期3.正弦、余弦、正切函数的周期性函数y=As

2、in(5+3)y=Acos(x)y=Atan(cx)周期_2T=-_2T=-T=E条件A0,0,A,f为常数点暗若函数y的周期为r,贝J,zn*也是y的周期吗？为什么？是，利用周期函数的定义，yu)=yu+7)=u+27)=u+Z7).自主检验1 .思考辨析，判断正误任何周期函数都有最小正周期(X)提示常数函数/)=c,任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.(2)若存在正数,使对于定义域内的任一个X,有yu+7)=-yu),则函数yu)的周期为27：(J)(3)y=sin1是周期函数.(J)当X=磊时，Sin(x+第=Sin%则,一定是函数=sinx的周期.(X)提示根据周期函数的定

3、义，存在TW0,对于定义域内的任一个都有yu+T)=J(X)f特殊的不行.2 .函数於)=s靖的最小正周期为()A.6B.3C.2D.答案A解析T=6,故选A.33 .函数y=sir+3是()B.周期为兀的偶函数D.周期为2兀的偶函数A.周期为兀的奇函数C.周期为2兀的奇函数答案D解析因为y=sin(x+5=cosx,所以该函数是周期为2兀的偶函数.4 .设心0,若函数/U)=sin(+3的最小正周期为竽，贝IJZ=.答案3解析T=,：.k=3.KD题型剖析课堂互动题型一求三角函数的周期【例I】求下列函数的周期:(IVu)=2sin&+*,xR;(2)/U)=I2CoSeJ,xR;(3)/(X

4、)=ISinx,xR.解(1)法一设40的周期为7,即2sin&+袭+=2sin&+普对任意的X均成立.即2sin(+g=2sin，其中=$+,.y=2sinu的周期为2,=2,JZ/.T=4,U)=2sin(5+)的周期为4.法二VT=4,2fix)=2sin(5+)的周期为4.QVU)=I-2COS传，的周期为T=4.2(3)利用周期函数的定义，/(x)=sin(x)=-sinM=sinx=fix).；JU)=sinx的周期为兀.思维升华求三角函数周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.(2)公式法，对形如y=4sin(x+9)或y=AcoS(GX+)(4,9是常数，A0f2兀G

5、wo)的函数，7=而.【训练1】在函数y=cosx,y=cosx,y=cos(2r+*,y=tan(2x彳中，最小正周期为兀的函数有()A.B.C.D.答案D解析y=cosx=cosx,周期为2;y=cosx9周期为,正确；y=cos(2x+聿)，周期为兀，正确；y=tan(2x周期为，；故选D.题型二周期函数在实际中的应用例2若单摆中小球相对静止位置的位移MCm)随时间/(S)的变化而周期性地变化，如图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从。点算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？当r=Us时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？解(1)从图象可以

6、看出，单摆运动的周期是0.4s.(2)若从。点算起，到曲线上的。点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，则到曲线上的E点表示完成了一次往复运动.(3)11=0.2+0.427,所以小球经过11S相对于静止位置的位移是OCm.思维升华根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题.【训练2若钟摆的高度mm)与时间*s)之间的函数关系如图所示.求该函数的周期；(2)求f=10s时钟摆的高度.解(1)由图象可知，该函数的周期为1.5s；(2)设力=(f),由函数W)的周期为15s,可知火10)=yU+6X15)=A1)=20,.I=IoS时钟摆的高度为20mm.题型三三角函数周期

7、性的综合应用【例3】定义在R上的函数yu)既是偶函数，又是周期函数，若yu)的最小正周期为,且当工0,，时，r)=SinX,则后=()CTD坐【迁移1(变换条件)若将例3中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何?【迁移2】(变换结论)若将例3条件不变，求甯)+产号J的值.解借)=73+*周=Si导坐，思维升华当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.【训练3】设段)是周期为2的奇函数，当Oa1时，7U)=sinx+x,则12时，TU)=.答案sin(-2)+-2解析当1x2时，-2vxv1,贝!02-M1,因为当O0,xR)的周

8、期r=.CD-分层U11练f素养提升I基础达标I一、选择题1 .(多选题)下列函数中最小正周期为,且为偶函数的有()AJ=tanQ+引B.y=sin2-zjC.y=sin2xD.y=sinx答案BD解析A中，y=tan(x+f),函数周期为兀，非奇非偶函数，排除；B中，y=sin(2x)=-cos2x,函数周期为兀，偶函数，满足；C中，y=sin2x不是周期函数,排除;D中，y=sin,函数周期为,偶函数，满足；故选BD.2 .函数段)=tan(Gxg)与函数g(x)=s晤一句的最小正周期相同，则=()A+1B.1C+2D.2答案A解析因为函数/U)=tan(co-*与函数g(x)=sin一2

9、x)的最小正周期相同，因I1兀2兀、.此IG1=2，t*ft=19选A.3 .设函数7U）（xR）满足五一X）=/U）,yu+2）=）,则函数y=Ax）的图象可能是CD答案B解析由y（x）=/（x）,则“X）是偶函数，图象关于y轴对称.由兀c+2）=U）,则7U）的周期为2,故选B.4 .下列函数中最小正周期为的奇函数是（）Bj=Sin2xD.y=tan2xAJ=COSIxC.y=sin2x答案B解析分析可知，选项A,C皆为偶函数，对于D：T=,对于B：T=,故选B.3cost50,5 .设yu）是定义域为R,最小正周期为号的函数，若y=2则sin9OO)的最小正周期为3,则函数y=3cos(

10、2A-1)-的最小正周期为.答案解析由题意知2A=3,A=2,2A-1=2.y=3cos(2A-1)x=3cos(2-兀)的周期为T=.8 .若函数外)=2cos(5+的最小正周期为T,且T(1,4),则正整数的最大值为.答案6解析10,贝唠2兀，正整数的最大值为6.三、解答题9 .设函数加)=3Sin(GX+聿)，So且最小正周期为，求儿。的解析式；(2)已知/+?=，求Sina的值.解(1)Vx)=3sin(s+看)且最小正周期为全，普=，即=4,./(x)=3sin(4x+(2)7U)=3sin(4x+,热+点)=10 .已知弹簧振子对平衡位置的位移M单位：Cm)与时间，(单位：S)之间

11、的函数关系如图所示.求该函数的周期;求Z=10.5s时弹簧振子对平衡位置的位移.解(1)由图象可知，该函数的周期为4s.(2)设位移与时间的函数关系为x=/)，由7=4,所以40.5)=(2.5+2X4)=(2.5)=-8(cm).故f=10.5s时弹簧振子相对平衡位置的位移为一8cm.能力提升711 .已知於)是以为周期的偶函数，且x,引时，危)=1sinx,则当xy,3时，於)的解析式为.答案/U)=1Sinx解析y,3时，3兀-c,目，TrVx0,2时，7U)=1-sinx,.(3-x)=1sin(3-x)=1sinx.又:/U)是以兀为周期的偶函数，3-)=-x)=),./U)的解析式

12、为/(x)=1sinx,等，3.12 .若危)=si冷,则大-2)=如)+42)+五3)+m025)=.答案一日3解析由於)=sinf得人-2)=sin(一匍=半，函数/)=si:的周期为3=6.2714冗5冗,.*X1)+fi2)y(3)4)5)6)=sinsinsin+sin-sin+sin2=0,D+2)+3)+-+2025)=337X伏1)+2)+43)+火4)+式5)+6)+犬1)+式2)+7(3)=337XO+sinsin专+sinr=V5.13 .已知函数於)=cos(2x+；)判断x+制的奇偶性；若函数g(x)的最小正周期是2兀，且当x外时，g(x)=娟，求关于X的=COS(2x+/J=-Sin2x.令F(X)=/(x+匍=sin2x,由于F(X)=sin(2x)=sin2x=-F(x),所以F(X)是奇函数，即(e+制是奇函数.兀兀Ifx(.(2)当x-y引时，g(x)=句=COSH+金.因为r+狂7,*所以由g。)=里解得x+与=一点或%+方=