习题课 函数性质的综合问题.docx

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1、习题课函数性质的综合问题【学习目标】1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.2.掌握函数性质的综合应用问题.一、函数图象的对称性问题1当函数y=U)的图象关于直线x=对称时，会满足怎样的条件呢？提示如图所示，在x=两边取对称的两个自变量的值，如aX,+x,由对称性知它们的函数值相等，即x)=(+x);反之，若对定义域内任意X都有火ax)=(+x),则函数y=r)的图象关于直线x=对称.问题2当函数y=U)的图象关于点(m0)对称时，又会满足怎样的条件呢？提示如图所示，在x=两边取对称的两个自变量的值，如aX,a+居由对称性知它们的函数值互为相反数，即五。-x)=Aa+%)；反之，若对定义域内

2、任意X都有九7x)=4。+”),则函数y=(x)的图象关于点3,0)对称.【知识梳理】1 .函数图象关于直线对称y=7U)在定义域内恒满足的条件y=v)的图象的对称轴fiia+x)=f(a-)直线X=Oj(x)=J(a-)直线X=?Ja+x)=J(b-)直线尸管2 .函数图象关于点对称y=(x)在定义域内恒满足的条件y=U)的图象的对称中心J(a-)=-J(a+x)3,0)AX)=-Aax)Ja+X)=-fib-X)空。)J(a+x)+J(b-)=c空9例1定义在R上的偶函数产w,其图象关于点&0)对称，且问0,1时，=r+/则f(D等于()A.-1B.0C.1D.答案B解析)，=的图象关于点

3、(点。)对称，-J=0，即y(i+x)+y(x)=o.又1=()为偶函数，/(一%)=於)，/.i+)=o,即41+力=一%)，v(0=-Q)=反思感悟解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法：(1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论.(2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题.注意：使用性质要规范，切不可自创性质！跟踪训练1若函数y=U)在(0,2)上单调递增，函数y=U+2)是偶函数，则下列结论正确的是()A.O(f)(DB./()A1)(DC.0(1)OD./()D()答案B解析y=(x+2)是偶函数，x)=(2+x)故y=y(x)的

4、图象关于直线x=2对称，-V=/.7=/.又r)在(0,2)上单调递增，1,二、函数性质的综合应用例2己知函数火X)=Um是定义在(一1,1)上的奇函数，且於)=1.确定函数段)的解析式.(2)用定义法证明,/U)在(-1,1)上是增函数.(3)解不等式：向-1)+MV0.*.*1rr21,.*.Xi-X2O,1+x30,1-xiX20,x)-x2)0,即Kn)4及),加)在上是增函数.(3)解J(t-i)-M=J1-1).；加)在(一1,1)上是增函数，-Kr-K1,；K-r1,解得0制.j-tt.不等式的解集为/|OyWJ-反思感悟奇偶性、单调性的综合应用利用函数的奇偶性将函数式转化，利用

5、单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域.跟踪训练2已知函数的定义域为(一2,2),函数g()=ytr-1)+3-2).求函数g(x)的定义域.(2)若Kr)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)SO的解集.2-12,解(1)由题意可知.，CC-23-2x2t1r3,所以15解得:x,2v2,11故函数g(x)的定义域为&D-(2)由g(x)WO,得/(-1)+y(3-2x)0,所以r-1)W-(3-2x)因为/U)为奇函数，所以“r-1)(A2r-3)而人力在(-2,2)上是减函

6、数，-12-3,所以5解得JW2.gO,贝1()A. J(-X)fi.-X2)B. J(-X)=J(-X2)c.J(-X)fi-X2)D.火一XI)与人一念)的大小关系不确定答案A3.已知定义在R上的奇函数7U),且当WO,+8)时，/)单调递增，则不等式式级+1)+yu)eo的解集是()A.(8,1)B.(1,)C. -1,+)D.(8,1答案C解析因为函数兀0是奇函数，所以不等式A2x+1)+y(1)2O等价于汽2%+1)2大一1).又当x20时，函数兀r)单调递增，所以函数人0在R上为增函数，所以正版+1)为一1)等价于2+12-1,解得工21.4.已知府)是定义域为R的偶函数，当x20

7、时，=x2-4x,则不等式府+2)5的解集是答案(-7,3)课时对点练，基础巩固1.已知定义在R上的奇函数兀0满足y(+2)=y),则12)的值是()A.0B.1C.2D.4答案A解析由题意得/0+2)=/(2)=AO)=0.2 .已知/)=(加一1)/+2MX+3为偶函数，则Ar)在区间(2,5)上()A.单调递增B.单调递减C.有增有减D.增减性不确定答案B解析由Ar)是偶函数，即4一幻=外)，得加=0,所以Kr)=x2+3,画出函数加幻=一(+3的图象(图略)知，在区间(2,5)上单调递减.3 .已知函数段)是定义域为R的奇函数，且危)=人4一外，当一2Wf0时，1)=：,则/(3等于(

8、)22A.-2B.C.D.2答案D解析,W=4-）,r）的图象关于直线x=2对称，又函数凡r）为奇函数，./（3=一/（一0=（2）=2,即g=2.4.已知函数在区间（0,2）上是减函数，又函数y=U+2）是偶函数，那么r）（）A.在区间（2,4）上是减函数B.在区间（2,4）上是增函数C.在区间（一2,0）上是减函数D.在区间（一2,0）上是增函数答案B解析Y函数y=U+2）是偶函数，函数y=y0+2）关于），轴对称，即函数y=y（x）关于x=2对称，函数段）在（0,2）上是减函数，；函数兀0在（2,4）上是增函数.5 .已知偶函数人外在区间0,+8）上单调递增，则满足1）gg）的X的取值范

9、围是（）a（3）BEDC（VI）d答案A解析偶函数满足儿t）=3!）,根据这个结论，有缺T）O=川ZrT|）勺（9,进而转化为不等式|2x111,解这个不等式得X的取值范围是G，|）.6 .（多选）若函数y=Hx）是偶函数，定义域为R，且该函数图象与X轴的交点有3个，则下列说法正确的是（）A. 3个交点的横坐标之和为0B. 3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关c.o）=oD.爪0）的值与函数解析式有关答案AC7 .已知偶函数Ar)和奇函数g(x)的定义域都是(一4,4),且在(-4,0上的图象如图所示，则关于X的不等式人r)g(x)0的解集是.答案(-4,-2)U(0,2)解析设A(

10、X)=ZWg(X),则h(-)=J(-)g(-)=-J(x)g(x)=-h(x)t所以力(X)是奇函数，由图象可知，当一4x0,g(x)O,即MX)0,当(XX2时，Kr)O,即MX)3)=12)=-2)=-2)=0,同理，4)=5)=0.D+2)+3)+4)5)=O.9 .已知函数KX)是定义域为R的奇函数，当x0时，)=1+1y.求人2)的值；(2)用定义法判断)，=/伏)在区间(一8,0)上的单调性；求当Qo时，7U)的解析式.解(1)根据题意，得函数T(X)为奇函数，当XVO时，y=+,则2)=-2)=-(IT)=.(2)根据题意得，当KO时，Rr)=1+占.在(-8,0)上任取X,X

11、2t且XX2,则於此M)=(I+)-(+)-(1-1)又由411V0,X2101可得KtI)一段2)0,即外1)次X2).由定义可知，函数)，=危)在区间(-8,0)上单调递减.(3)当QO时，一XVO,则式-4)=1一士，由函数段)为奇函数知r)=一式一),所以yw=+*=詈I10 .已知函数Kr)=x2/U(而0)在区间0,2上的最小值为g(m).求函数g(?)的解析式.解因为J(X)=X2-/MX=(X-，一半口心。)，所以当0/W2,即02,即加4时，函数Kr)=G啰2早在区间。2上单调递减,此时g(m)=2)=4-2?.综上可知，g(2)=in-CJ,不04.11 .定义在R上的偶函

12、数7U)的部分图象如图，则下列函数中在(-2,0)上与六O的单调性不同_x+1,x0-1,XVo的是()A.y=x2+12x1,x0C.1x+1,XVo答案D解析易知7U)在(-2,0)上单调递减，A,B,C选项中函数在(一8,0)上单调递减，D选项中，函数在(一8,0)上单调递增.12.若定义在R上的函数x)满足：对任意即，MWR,有y+x2)=3)+y(M)+1,则下列说法一定正确的是()A.J(X)-为奇函数B.jx)-为偶函数C.4x)+1为奇函数D.40+1为偶函数答案C解析对任意XI,X2R有兀V1+12)=TU1)2)1,令XI=X2=0,得火0)=-1令XI=X,X2=-X,得7(0)=y(x)+/(%)+1.+1=-)-=-(-)+,.+为奇函数.13.设定义在R上的奇函数外)在(0,+8)上单调递增，且川)=0,则不等式也工)一-r)1B. xx-1或01C. xx1)D. 川一1*0