单自由度系统的频响函数理论分析.docx

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1、单自由度系统的频响函数理论分析目录1 .引言12 .机械振动理论-单自由度系统12.1.前述12.2.单自由度系统的频域响应22.2.1.系统极点、固有频率、阻尼比32.2.2.留数32.3.单自由度系统的时域响应53 .粘性阻尼系统64 .结构阻尼（滞后阻尼）系统101 .引言单自由度系统是最基本的振动系统。虽然实际结构均为多自由度系统，但单自由度系统的分析能揭示振动系统很多基本的特性。由于他简单，因此常常作为振动分析的基础。从单自由度系统的分析出发分析系统的频响函数，将使我们便于分析和深刻理解他的基本特性。对于线性的多自由度系统常常可以看成为许多单自由度系统特性的线性叠加。下面我们分别对粘

2、性阻尼和结构阻尼系统的频响函数理论进行讨论，并推导他们的表达式。2 .机械振动理论-单自由度系统2.1.前述在研究一个机械振动系统时，系统的传递函数是一个主要的关注对象，系统的传递函数即系统输出与输入作为拉氏变量函数的比。其刻画了系统在受到外部输入时的输出特性，有时也称其为动态特性。传递函数的分母就是系统的特征方程，它决定着系统的极点、固有频率和阻尼比。传递函数的部分展开式的各个分子包含着留数（后面将提到）。单自由度机械系统是最简单的一种机械振动系统。系统的动力学方程及传递函数假设一个单自由度系统的受力情况如下:图2单自由度系统受力示意图若该粘性阻尼单自由度（SDoF）系统（图2）的力平衡方程

3、式表示惯性力、阻尼力、弹性力与外力的平衡，则方程可以写为1：(I)Mx(t)+Cx(t)+Kx(t)=f(t)其中，2.2.单自由度系统的频域响应这里将结构中呈现出来的全部阻尼都近似为比例粘性阻尼。把上面的时间域方程变换到拉氏域（复变量S）,并假定初始位移和初始速度为零，则得到拉氏域（或复数域）方程2：(2)(Ms2+Cs+K)X(s)=F(s)或直接写为：Z(S)X(S)=F(S)其中Z代表动刚度。整理可得传递函数(又称动柔度)的定义：H(s)=Z-1(s)o(4)X(S)=H(S)F(S)H(S)=1/1MMS2+(CCMM)s+(KKMM)该传递函数是一个复值函数。2.2.1.系统极点、

4、固有频率、阻尼比上面传递函数H(S)右端的分母叫做系统的特征方程，其根即系统极点，极点计算式为：(6)s=-(CC(2M)(2M)(CC(2M)(2M)2-(KKMM)根据此式可以得出一些重要概念。如果没有阻尼(C=O),则所论系统为保守系统。由上式，定义该情况下的系统的无阻尼固有频率为：n=KKMM临界阻尼CC定义为使得极点式中的根式项等于零的阻尼值：Cc=2MKKMM而临界阻尼分数或阻尼比定义为：=CCCcCc阻尼有时可用品质因数，即Q来表示：Q=11(2)(2)系统按阻尼值的大小可以分为过阻尼系统(C1)、临界阻尼系统(C=I)和欠阻尼系统(C1)O过阻尼系统的响应只含有衰减成分，没有振

5、荡趋势。欠阻尼系统的响应是一种衰减振荡，而临界阻尼系统则是过阻尼系统与欠阻尼系统之间的一种分界。实际机械系统的阻尼比很少有大于10%的情况，除非这些系统含有很强的阻尼机制，因此一般研究欠阻尼情形。在欠阻尼情况下，极点计算式有两个共加复根：(7)s1=O+jG)d,s1*二-jd其中，。称为阻尼因子或衰减系数；3d是阻尼固有频率，且有d=sn1Y2由极点计算式可以得到系统动力学微分方程对应的齐次方程在时域中的解为：(8)x(t)=C1es1t+C2es1*t这里，、C1、C2为任意常数。有关系统极点的另外一些关系式：(9)SI=(Y+j1-2)n(10)=-od2+O2(11)。=-(12)=d

6、2+。22.2.2.留数根据极点，传递函数可以写成如下形式：(13)H(S)=I/1MM(SF)(S-S1*)再展开成部分分式(过程详见：如何证明共枕复数极点对应的留数也是共枕复数对？)：(14)H(S)=A1S-SI+A1*s-si*这里A1=I/IMMj2d上式中的A1和A1*就是留数。公式推导：(15)H(s)=A1s-s1+A1*s-s1*=A1(s-s1*)+A1*(s-s1)(s-s1)(s-s1*)=(A1+A1*)s-(A1s1*+A1*s1)(s-SI)(S-SI*)=2Re(AI)S-(A1S1*+A1*s1)(s-s1)(s-si*由此可知：对于单自由度系统，其留数的实部

7、为0,即：2Re(A1)=0因此分子为：(16)Im(A1)Im(s1)e(s1)+Im(A1)Re(s1)+Ims1=2Im(A1)Im(s1)=2A1jd=11MM上图网分别表示典型的单自由度系统传递函数的实部、虚部及幅值、相位图。沿频率轴03)算出的传递函数叫做频率响应函数(FRF),简称频响函数。(17)IH(S)IS=j=H()=A1(j-S1)+A1*(j-S1*)也就是说，频响函数是传递函数的一个子集：它是通过频率轴(j),或(O=O)的垂直截面。频响函数中复共挽部分(即上式右端后一部分)的影响在共振频率3=)d附近可以忽略。因此单自由度系统的频响函数常常近似为：(18)H()A

8、1j-s1这个近似公式也就是单自由度参数估计法所用的基本公式。上式的优点是其奈奎斯特图为圆弧，可采用圆拟合方法。2.3.单自由度系统的时域响应由于式(1)是二阶常系数线性微分方程组，其时域解具有自然指数形式X=XeS3详见：如何推导高阶常系数线性常微分方程的解具有自然指数形式的充分必要条件？单自由度振动系统的时域解可以写为式(19)的形式：(19)x(t)=Aes1t+A*es1*t=e-nt(Aejdt+A*e-jdt)由高等数学二阶齐次线性微分方程解的结构也能得到上述解，即特征方程有一对共枕复根的情况。幅值A由初始条件决定(注意：这里的A指的是“幅值”，前面的A1指的是“留数”，注意区分)

9、，极点的实部Yan表示衰减率，虚部3d则表示阻尼振动频率。如果令A=a+ib,则有A*=a-ib.(20)x(t)=e-nt(Aejdt+A*e-jdt)=e-nt(2acosEi3dt-2bsinE3dt)由初始条件：x(O)=xO;X,(0)=x0带入得到：2a=x0;-2b=x,0+nxd=x0+x1-2所以时域响应可以写为：(21)x(t)=e-nt(xOcosEdt+x,0+x1-2nsinE3dt)为了给出一个计算实例,这里令X(O)=O.025m；X,(0)=0ms;M=1kg;C=0.1NsmK=2.5Nm.4MAT1AB代码：c1earc1cc1osea11x=0.025；%

10、mv=0.000；%m/st=1inspace(0,60,1000)；m=1；%kgc=0.1；%N*secmeterk=2.5；%N/momega.n=sqrt(km);zeta=0.5*c/m/omega_n；x=exp(-zeta*omega_n*t).*(xO*cos(sqrt(1-zetaA2)*omega_n*t)+.(vO+zeta*omega_n*xO)/sqrt(1-zetaA2)/omega_n*.(sin(sqrt(1-zetaA2)*omega_n*t)；gure(1jp1ot(t,x*1000,r-,1inewidth,1.5Jgridon；tit1e(fontsiz

11、e10fontnameTimesNewRomanDampedResponseofaSing1eDegreeofFreedomSystem)；x1abe1(fontsize10fontnameTimesNewRoman)itTimerm/s,);y1abe1(,fontsize10fontnameTimesNewRomanitDisp1acementrm/mm)；1egend(TimedomainresponseofSDFSyStem)set(gdunit,centimeters,position/。1013.539.03co1or,white,)；结果图：DampedResponseofaSi

12、ng1eDegreeofFreedomSvstcm302001020304050刃乎,研Time/s10OO-1Eu1二mJ2Bka-20-303.粘性阻尼系统对粘性阻尼系统，假设其阻尼力与振动速度成正比，方向与速度相反，即Jd=-以系统的力学模型如上图所示。其振动运动方程为：WX+7X+X=f式中：X及f均为时间t的函数对于自由振动(f=0),上式可以写为：X+ex+x=0其解的形式为：X=Xei式中：S为复数；X为不依赖时间的量。对振动运动方程式两边进行拉普拉斯变换，并假设初始值为0,可得”+cs+上卜(S)=Jr(S)式中：S为拉氏变换因子；X为x(t)的拉氏变换，而f(s)则为f(t)

13、的拉氏变换。对自由振动而言，可得ms1+cs+上=0由上式可解得S的两个根：c.jc2-AhnSIa=2w2n式中，二km,系统的无阻尼固有频率；C为阻尼比。-ccz=C小品叫=CjQnaC为无量纲因子。一般钢结构属于小阻尼，=0.010.1,对CVI的阻尼称为欠阻尼。则模态解的形式为:X=ea2t这是带复固有频率的振动单模态，可分为两部分：虚部(或振动部分)，频率为:实部(或衰减部分)，阻尼比为：a=c%前面的si,s2为共辗复数，他们的实部为衰减因子，反映系统的阻尼；其虚部表现有阻尼系统的固有频率。模态模型两部分H(3)的物理意义表示在典型自由响应图中，(如图)上式中(ms2+cs+k)具

14、有刚度特性，故称为系统的动刚度。在一定的激励作用下，其数值与系统的响应X(S)成反比。他具有阻止系统振动的性质。因此称为系统的机械阻抗，简称阻抗(与电学中的阻抗有类似之处)，现令Z(S)=fns1-cs+k其倒数称为机械导纳，简称导纳，又称传递函数。H(S)=-2ws+cs+k若对振动运动方程式在付氏域进行变换，即S=j3,则阻抗与导纳公式可写为:=k-ma?+c0H()=5k-ma)+c勿式中，H(3)又称为频率响应函数，简称频响函数。位移导纳、传递函数及频响函数都具有柔度的性质，故又称为动柔度。在实际应用上(对稳定线性弹簧质量系统而言)这三个名称并不严格加以区别。由机械导纳和上式可见，传递函数与频响函数均为复数。上式还可以表示为/k-ma?-CDc-冽4)+(co)J(上一m02)+(co)11一国-f一工(1_圆2)+(2并)2+1_32)+(2第)2式中，了=0/称为频率比。由Z(3)=km2+cj可见，系统的位移阻抗由三部分组成，即质量阻抗、阻尼阻抗及刚度阻抗。他们分别为：质量阻抗一一-;阻尼阻抗j3k；刚度阻抗ko他们的位移导纳分别为各自的倒数，即质量导纳-1/2m；阻尼导纳1/j3k；刚度导纳1/ko上述阻抗与导纳公式均为位移阻抗与位移导纳。若系统的输出为速度或加速度，则同样可得速度阻抗与加速度导纳。对于不同