第04讲极值点偏移：乘积型老师版.docx

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1、第04讲极值点偏移:乘积型参考答案与试题解析一.解答题(共17小题)1. (2021春汕头校级月考)已知，函数/(幻=0x-or,其中R(1)讨论函数/*)的单调性；(2)若函数/(x)有两个零点，求的取值范围；(ii)设/(x)的两个零点分别为X1 , x2,证明：xlx2 e2.【解答】解：(1)函数的定义域为(0,内)，当4,0时，,(x).0, /(X)在(0,”)单调递增；当0时，由/(幻=0得x = L,贝IJ当OVXVL时，f()0, f(x)在(L+oo)单调递减. aa(2)法1：函数f(x)行两个零点即方程加x-ar = 0在(0,+)有两个不同根, 转化为函数尸加X与函数

2、尸的图象在(0,o)上有两个不同交点，如图： 可见，若令过原点且切于函数y = /，优图象的直线斜率为3只须OVaV攵，设切点 A(x0 , Inxu),所以 A = y I = % =,XO乂 k=g,所以_!_ =如，解得=e, 于是Z=L所以OVavL ee法2:由 当40时,/(x)在(0,o)单调递增，不可能有两个零点，.0，此时/*)M=/d) = -l a a需加L -1 0解得OeaVL ,从而Le, -i- aa a又/(1) = -l-e ,贝Ijg，(X) =1 0X故g(x)在(e,+oo)单调递减. /(3) = gd) vg(e) = 2-e / o /叫 + In

3、2 2 ,/Ul) = 0 /(x2) = 0, .Inxl -ax1 =0, Inx2 -ax2 = 0, ./x1 + InX2 = 4(, +x2) InXI -Inx2 = (x1 -x2) f ,-,、 c hj - Inx, 2, X.2(x -X,).Inxl + Inx2 2 = (x1 +x2)2 !-,xl-x2 xl +x2 x2 xl +x2,设函数gQ) = /二一二D 1)，r + 1xl +x2/ +1(D20,令五=，则 r,于是加工2(Kr) j2sll求导得：gr=- t (/ + I)2 1 + I)?故函数g(f)是(Ly)上的增函数,.g)g (1)

4、=0,即不等式mT)成立,故所证不等式七玉 产成立. t + 2. (2021 攀枝花模拟)已知函数f(x) = m + 2一(tR6R)有最小值且M.().X(I )求尸-b+l的最大值;(II)当-b + l取得最大值时，设/(b) = -n(wR),尸(X)有两个零点为M , x2(xl e3.【解答】解：(I)有题意r(x)=一与=与(%0), X x x当”,O时，,(x).0, F(X)在。K)上单增，此时显然不成立，当b0时，令r(x) = O,得x = b,此时/(%)在(0,份上单减，在(仇h)上单增，:.M = f (b) =lnb+-a.0,即/成.-l,所以力, eal

5、 -0.所以尸-b +1的最大值为1.(II)证明：当 eT 一力 + 1 取得最大值时，a-l = nb, F(b) = - - /n = - m , b b7(x)的两个零点为芭，X2则以-m = 0;以空-帆=0 ,即/g=叫，Inx2 = mx2AlX5不等式 W? /恒成立等价于/叫+ 2lnx2 =叫+ 2mx2 = zm(x1 + Zx2) 3 /五两式相减得bi = zw(x1 -x2)=fn =玉-, X2Xj -X2加工3(l-1)带入上式得(%, +2x2)工 3 o加工 3但一)=一， x1-x2 x2 x1+2x2 A + 2X2令五=f(ozi),则8)=/皿一2：

6、112,(0，0X2r + 21 + 2)2所以函数g(f)在(0,1)上单调递增，.g(f).【解答】解：(1)由题意可得，(x) = XeX -Mx-r = xe-出(XeX) = O有2个零点，令 r(x) = xex 则(x) = (x + l)e 0在 X 0 时恒成立故心)=XeX在(0,+oo)上单调递增，所以h(x)有2个零点可转化为g=/ -有2个零点，因为 g) = l-/,0时，g,(t)O , g单调递增，不可能有2个零点，当a0时，由g)O可得z 1, g(f)单调递增；g)O可得Ov , g)单调递减，g(t)min = g (a) =a-aba，若Ov0此时g)0

7、恒成立，没有零点,若 = e,则g (a) =0，有一个零点，若e,则g (a) 0, g(ee,)ea -a20f所以g(f)在(Le)，(e,e)上各有1个零点，符合题意，综上，的范围(e,+oo);2(2)证明：要证只要证xme* /,即证 ln(xlex) + ln(x2ex )2 ,由(1)可知，tl = xxex , t2 = x2exi ,所 以 a(lnt2 - Inti ) = t2-ti alnt2 + Intl ) = I2+l，( + I)/?所以 Inti + Int2 - -+z1 (Int2 - Inti)=-t2 -tk-i4(k + 1)z2k只要证工2,f，

8、.t0/, 型二。即证/“ +/-20, r+1r+1令 h(t) = Int + 2, r 1, r + 1则=I湍广黯5.h(t)h (1) =0,即当时，) = lnt + -20, r + 1所以 Inti + Int2 2 即(xex )(x2ex2 )e2,4. (2021 武进区校级月考)已知函数/(x) = + g2-”.(1)若函数/(x)在X = I处的切线与X轴平行，求。的值；的取值范围;(2)若存在rwT, 1,使不等式/(戏,仪-(-1)伍对于Xe1 , e恒成立,(3)若方程/(x) = g2有两个不等的实数根不、试证明天声/.【解答】(1)解：r*) = !x-o

9、, .函数/(x)在X = I处的切线与X轴平行, X:.f, (1) =2- = 0,解得 = 2.(2)解：,l e,不等式/(,戊一(一1)欣 化为：x-6r(l - -X, t, 2X.存在fw-l, 1,使不等式/(x,-I)ZMX对于X口，e恒成立，1 InXTx -x.,.-X-a(), 1 化为：a.=g(x).2 Xx-lnx(x-l)(-x + l-zr)=r令人(X) = LX+l-nr, h,(x) = - - = _- 0 , 22 X 2x.函数力(X)在xtl , e上单调递增，h(x).h (1) =l-00.g(x).0,因此函数g(r)在X81, e上单调递

10、增.。的取值范围是士3,+8).2e-2(3)证明：方程/a) = ；/,即如一加v = o, x0.I (x)令 h(x) = ax-Inx， i,(x) = a =-X X可得：函数瓜)在xL时单调递增，在OcxvL时单调递减. aa.x = L时，函数力(X)取得极大值即最大值. a(-) = 1 + Ina .方程/() = gd有两个不等的实数根石、X2./. Irixl + Inx2 = ax + ) = lnxyx2),要证明：x1x2 e2.只要证明：4(j+修) 2 即可.不妨设OVXV,七，则2 Xl,由于函数/7(外在J时单调递增, aa aa因此只要证明：/(二一%)-

11、(二一芭)0即可得出x2 -x aaa,.22设函数 g(x) = ln(X)- a(x)- (JnX - ax), a a“ 、1 -12(ax-l)2S M = y + 2 =-.v 2 X X(Or - 2)X a71可得在(0,4)上gU)o,且g(3=o. aa22:.0xl 0, BP n(j)-(xx)-(lnxx -0)O aaa22即加(x1)- a(x1) O. aa2/. Xy 9 :.xix2 e2.V5. (2021和平区校级模拟)已知函数/(x) = g2+n的导函数为广.(I )判断f(x)的单调性；(II)若关于X的方程(=机有两个实数根西，2(x1 x2),求

12、证：x10) 1尤_ 令 g(x) = x-x ,由 g(x) = l =(x0)X X可得g(x)在(0/)上单调递减，。,+)上单调递增，() = g()g(1)=10,. J(x)在(O,+00)上单调递增 (4分)(H)依题意，卜-产1=,相减得力-=/三， x2 - Inx2 =mx1令三= W1),则有X=生，X2=-,x1f - 1t-欲证芭占2 2成立，只需证CjV 2成立,/-1 (r-l)2即证(m)3l),只需证23(X-7)-3zu0成立， x-21令尸(X) = 2 (x 7)- 3nr(x 1),2即证X 1 时，F(X)0成立F(x) = 2(l + -= 23*、”“ X XX令 (x) = 23( + 2)-3x2(x 1), 1I则 h,(x) = 21(3)-6x = 3x(2%-2