第32讲等积求距建模第一向量解法颇见功夫.docx

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1、第32讲等积求距建模第一，向量解法颇见功夫典型例题【例1】已知直二面角-/尸，点A,ACL,C为垂足，B0,BDUD为垂足,若AB = ZAC = BD = It则点D到平面ABC的距离等于（）236A. B. C. D. 1333【例2如图32-5所示，在棱长为4CC1 上，且 CG=4CP ,求的正方体ABCD- 4用G。中，点P在棱点 P 到平面 ABD1 的距离.强化训练L已知在正四棱锥ABCD-AiBiClDl中，AAi=2ABt贝IJ CD与平面BDq 所成角 的正弦值等于().2.如图32-10所示，已知正方形 ABCD的边长为1,尸。_1_平面 ABCO,且 PD = 1,E

2、F分别是AB和BC的中点.(1)求D点到平面PEF的距离.(2)求直线AC到平面PEF的距离.BS 32-10解答过程【例1】已知直二面角a-l-,点足,若 AB = 21AC=BD = f 则点 DA,AC,C 为垂足，Be,BDYl,D 为垂 到平面ABC的距离等于（）236A. - B. C. - D. 1 333【解析】【解法1】（构造法）依据题意构造长方体MBDC-NPQA,如图 32-1 所示，贝I AC = BD = XyAB = If由长方体对角线的长求法易得MB = -Jlf由长方体的性质易得点D到平面ABC的距离就是点D至U BC的距离，记也 .由S bcd =CD DB

3、= BC hDI得 力=述，故选C.3【解法2】（等面积法）如图32-2所示，作DELBC于点Et由二面角a-l-为 直二面 角，ACLl得ACL平面t于是有AClDE.又 BClDE,BCnAC = C,于是 DEl 平面 ABC.故Z）E 为点。到平面 ABC的距离.在Rt-BCO中，利用等面积法得BC噂邛,故选C【解法3】（等体积法）参考图322,由二面角a-l-为直二面角，ACll得ACl平面,由 AB = 2, AC =BD = 1,BD 1/,可知BC = 3,CD = 2z图 32-2则匕一皿=XIXTx17=#设点D至IJ平面ABC的距离为hf于是VD.ABC=LXh义除IX币

4、= gh. 326,匕.BDC= hl2/=半，故选 c【解法4】(向量坐标法，利用点面距离公式求解) 由题意可知ACA,以C为坐标原点建立如图32-3所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,1),8(1,ZO)(几0),由 AB = 2f?解得 = y2f/J7z.CA = (,O,l),CB = (l,J,),则平面 ABC 的 ,图32-G/法向量为=(,T),而Co = (O,J,),故点D到平面ABC的距离为d=印邛邛C.IH 3 3【解法6】(向量坐标法,转化为求向量的模长)以D为坐标原点,建立如图32 - 4所示的空间直角坐标系，贝IJ 8(1,0,0),C(O,、5,0), 得

5、BC = (-, 2,0).设 BE = ABCf 则 DE = DB+BE = (1 -,2,0).由 DE BC = - + 2 = 0f 得 = .3【解答案】C.【例2如图32-5所示，在棱长为4的正方体ABCD- lB1C1D1中，点P在棱 CC1上，且CC= 4CP,求点P到平面ABDl的距离.【解析】【解法1（立体几何定义法）如图32-6所示，连接BCit则易证平面BCC1I平面ABCn 于BG,于是在平面BCC1中,过点P作PQIBC1于点QtA3_L 平面 BCC,PQu 平面 BCClf. .PQ-LAB1:. PQ.L 平面 ABClDif PQ就是点尸到平面ABR的距离

6、，在 RtAGPQ 中，NCQP = 90 , ZPCxQ = 45 , PCi = 3, . PQ =当.即点P到平面ABDi的距离为逑.2【解法2】（向量坐标法）如图32-7所示，建立空间坐标系,11；图 32-6坐标原点为D,易求得AA=(0,0,4)(4,0,0) = (Y,0,4) AB = A设平面ABDi的法向量为ZI = (X, X z),AD1 n = 0-4x + 4z = O fx = z则=ABn = O 4y = 01y = 0.取 = lz 得 w = (1,0,1).又 V AP = (0,4,1)-(4,0,0) = (-4,4,1)1,4,0)-(4,0,0)

7、 = (0,4,0)A: /段一、:抄,/B08 32-7AP = (Y)XI+ 0x4+lxl = -3.点P到平面ABDi的距离为dAPW= 3 =3?n42【解法3（运用点面距离公式）空间点面距离公式实际上是平面解析几何中点线距离的延 伸拓展.Z = O在AQy坐标平面内，点A（xo,o,）到直线 的距离d =+ D = OI+8%+q,这一公式由二维拓展到三维在如图所示的空间直角坐标系内,设平面ABDi的方程为Ar+By + Cz +O = O（A氏C不同时为零）.A(4,0,0), 8(4,4,0), A(0,0,4)4A + D = 0 B = O则由 AB,D1 平面 ABD1

8、=MA + 4B + D = 0 C = AlRA = I 4CZ) = 0D =-4 A得平面ABD1的方程是x+z-4 = 0,点尸（0,4,1）到平面ABDl的距离_|0 + 0x4+l-4| _37202+l2+l22【解法4】(等体积法)如图32-8所示,连接BClf在BC上取一点，使 CM=CP = kC,连接 PM,则 PM/BC.4PMeZ 平面 ABCIDI,Bq u 平面 ABCxDx,.PMH平面ABClm P到平面ABeR 的距离 即为M到平面ABGDl的距离，连接MA,M%BD,设M到平面ABCR 的距 离为h.则 Vw Am =-S ARrx h = -AB ADc

9、h-h.jv 一if4 j 3ff32I3又 力 ,=,s A8W AO = J,A83MOQ 幼 一oiv 3 oiv1 132J=X434 = 83 2由 Vvf-AfiD1 =vDi-ABM 得 = 8,=32即点P到平面ABDi的距离为-.【解法5】(利用向量投影)建立空间直角坐标系如图32-9所示,易得A(4,0,0),P(0,4,1),C(0,4,0),4(4,44),则有 CS=(4,0,4),AP = (T,4,1)./. AP在CBl上的投影为华罕L = 一述网 23 B点P到平面ABDi的距离为-y-.强化训练1.已知在正四棱锥ABCD- ABCR 中，AA1 =2ABt

10、贝IJ CD 与平面 BDC.所成角A.3TD.的正弦值等于（【解析】【解法1】（定义法） 如答图32-1所示,连接AC交3。于点。，由于8。J_OCBOCG，可得3。，平面OCC1 ,从而平面OCCl _L平面BDCl过点C作CEJ_ OC1于点E .根据面面垂直的性质定 理,可得CE，平面BDC1.:. ZCDE即为所求的线面角.不妨设 AB = 2,则 CG =4,OC = ,OG =IW = 3.=蜂=NSE=空=2,故选 A.OG 32 3CD 3【解法2（等积法）连接 AC交 8。于点。,由 BO1OC, BO1 CClz32-1可得3。_L平面OCG ,得3。_LoG ,过点C作

11、CEJ-平面BDG，则 NCoE即为所求的线面角.由等积法,得_8Dq= %-则 SABDCj CE = S&bdc CC1.设GC = 4,则 A8 = 2,SmDC=2,S谢G =；8。G=g2x3 = 6.CE = g,故CE 2SinZCDE = -=-, CD 3【答案】A2.如图32-10所示，已知正方形 ABCD的边长为1,PD平面 ABCDt且PD = 1,E F分别是AB和BC的中点.(1)求D点到平面PEF的距离.(2) 求直线 AC 到平面 PEF 的距离.4【解法2(等积法)【解析】（1）【解法1】EF1BD, EF IPDf.EF 平面PDB,平面PEF1平面PBD,

12、交线为PG,。点到平面PEF的距离就是D到PG的距离h .在APQG中（见答图32 2）,力=名纱，又PO = LOG =应,PG = 隼,PG4V 1641723而：.h = k =-,此即为。点到平面PEF的距离.3417VD-PEF = P-DEF , * SAPEF = SWEF 尸。点到平面PEF的距离是醇.。点到平面PEF的距离是2 .(2)连接AC交B力于点。，作LPG于，如答图 32-3所示. AC UEF、EF U平面PEFt.AC/平面PfF,将直线AC到平面PEF的距离转化为点 。到平面PE尸的距离.平面PQG，平面PER.点。到PG的距离就是点。到平面P所的距离.在 RtAPDG 中, OH1PG,:. PDG AOHG,PD PG OHOG4