——圆综合解析版.docx

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1、2023年一模分类汇编圆综合1.(2023北京东直门中学一模)如图，AB为。的直径，点。、点。为。上异于A、B的两点，连接CD,过点C作CEIO8,交08的延长线于点E连接AC、AD.(2)若。的半径为非，tan5OC=g,求AC的长.【答案】(1)见解析(2)4【解析】【分析】(1)连接。C,可证明OC/DE,由于CE_18,ZCED=90o,所以NoCE=90。，OCCE,根据切线的判定即可求出答案.(2)连接BC,由于NBOC=N8AC,所以tanNBAOtanNBOC=；,设3C=x,AC=2t所以AB=小列出方程即可求出X的值./.ZOCA=ZOACfNCOB=2NOAC,VZBDC

2、=ZOACfZABD=2ZBDC,：./COB=ZABD,：.OCHDE,:CE1DBfNCEo=90。，ZOCE=90o,OCA.CEt,CE是。的切线.连接BC,VNBDC=/BAC,tanZBAC=tanZBDC=,2VAB是(Do的直径，：N8CA=90,.BC1=一,AC2设BC=xfAC=2xtAB=5x，。的半径为6，5x=25,x=2,AC=2x=4.【点睛】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，锐角三角函数的定义、圆周角定理以及勾股定理.2.(2023北京中国人民大学附属中学朝阳学校一模)如图，在AABC中，NACB=90。，以BC为直径的Oo交AB于点O,E

3、是AC中点，连接Z)E(1)判断。石与Oo的位置关系并说明理由；(2)设8与OE的交点为人若AB=I0,BC=6,求。尸的长.9【答案】(1)QE与。0相切，证明见解析；(2)OF=-【解析】【分析】(1)连接。、CD、0E,通过全等三角形的性质求解即可；(2)利用勾股定理求得线段0区CE的长，利用相似三角形的性质求得Cr的长，再用勾股定理求解即可.【详解】(1) OE与。O相切，连接O。、CD、OEYBC为G)O的直径JNCOA=NCo8=90,IE是AC中点：.ED=ECYOC=OD,OE=OE：.AOCEeAODE(H1)：N0DE=NOCE=90。：.OD-1DE,OE与(Do相切(2

4、) VZACB=90o,AB=10,BC=6AC=8,YE是AC中点，。为BC的中点CE=-AC=4f0C=-BC=322由勾股定理可得：OIoC2+.=5：DE、CE与。相切：.DE=CEfZCeo=ZDEO又：OD=OCOE垂直平分8：NoFC=NFCO+NFOC=90又VNoCE=NCoE+NCEO=90ZOCE=OFC,ZFCO=ZCEo.,.OCFOEC,OCCF*oeec：OCCE=OECF.UOJCE12OE5IgOF=yOC-CF2=-【点睛】此题考查了圆切线的判定与性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活利用有关

5、性质进行求解.3.（2023北京市第七中学一模）如图，OE是Co的直径，CA为Co的切线，切点为C,交OE的延长线于点A,点尸是。上的一点，且点C是弧E尸的中点，连接。尸并延长交AC的延长线于点8.（1）求证：ZABD=90o;（2）若期）=3,tanZDAB=-1求的半径.4【答案】证明过程见解析；VO【解析】【分析】（1）连接Oc证明OC在根据切线的性质得到垂直即可得解;(2)根据己知条件求出4),利用AAOCSADB求解即可;【详解】(1)如图，连接OCTCA为。的切线，NOGA=90。，又Y点C是弧E/的中点，工弧EU弧CF,，Z1=Z2,又YUoC=2Z1,Z1+Z2=E0C，：OC

6、/AB,：ZABD=90。；3(2) YBD=3,tanZDAB=-t4.DB33111=ABAB4：A8=4,在MZAB。中，AD=3W=5设半径OD=OC=X,OA=5-X又,：0C/DB,AoCSADB,.OAOCRn5一XX.=,UJ=一,ADBD53解得：=9O半径是O【点睛】本题主要考查了圆的综合，结合相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义计算是解题的关键.4.(2023北京通州一模)如图1,AB是GO的直径，点C是。上不同于A,B的点，过点C作(。的切线为BA的延长线交于点。，连接ACBC.求证：DCA=B;(2)如图2,过点。作C1AB于点E交一。于点八尸。的延长线交

7、CB于点G.若C。的直径为4,N=30。，求线段尸G的长.【答案】(1)见解析(2)3【解析】【分析】(1)根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角，即可求解；(2)根据垂径定理和圆的切线，可证NoGC=90。，根据角平分线的性质可知OG=OE,根据30。的角所对的直角边等于斜边的一半可求OG,即可求解.解：连接。C,C。是圆的切线NoCO=90/.ZDC+ZCO=90oTAB是圆的直径/.NACB=90：,ZB+ZCAO=90o：ZCAO=ZACo：.ZDCA=ZB.解：连接。C,c。是圆的切线：NOCD=90VND=30。NCOZ）=60。ZB=ZBCO=-/。勿二30。2*：CEYABtO

8、C=OF1NEOF=NCoE=60。,NoCE=30：NCoG=60NOGC=90。：.OE=OG=-6r=-i4=1222：,FG=OF+OG=3.【点睛】本题考查圆的切线的性质、垂径定理、直角三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握这性质定理是解题的关键.5.（2023北京顺义一模）如图，四边形ABa内接于Q,AB为G。的直径，点。为AC的中点，对角线AC,BD交于点E,。的切线AF交8。的延长线于点F,切点为A.(1)求证：AE=AF;若A产=6,BF=IO,求BE的长.【答案】(1)见详解喈【解析】【分析】(I)根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出NCAf)=NABQ,根据直径对应的圆周

9、角是直角及切线的性质即可得出NAZ)B=NBA尸=90。，再根据等角或同角的余角相等即可得出NAEQ=NAF8,最后根据等角对等边即可得证；(2)根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出NCAZ)=根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出NAPB=NBA尸=90,再根据等角或同角的余角相等即可得出NBU)=N40,利用ASA证明VADb丝VADE,根据全等三角形的性质及勾股定理得出AE=AF=6,根据三角形的面积公式及勾股定理得出BE的值.证明：点0为弧AC的中点：,CAD=ABD,；AB为Q的直径，AF为.Q的切线ZADB=ZBAF=90,ZABD+BAZ)=90o,BAD+DAF=90.

10、ABD=ZDAF./.CAD=ZDAFZAED=ZAFb,：AE=AFYAB是Q的直径,ZADB=90o,由（1）AF=AE=6t.DF=DE在RfAAB产中,A尸=6,BF=I0,:AB=JBF2-AF?=8,VSMRF=-ABAF=-BFADt*or22：.DE=yAE2-AD2=14：.BE=BF-IDE=-5【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的判定及性质定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质定理.6.(2023北京中国人民大学附属中学分校一模)如图，点E是CO中弦AB的中点，过点E作:”的直径CD,P是上一点，过点

11、P作W的切线，与AB的延长线交于R与8的延长线交于点G,连接CP与A8交于点M(1)求证：FM=FP;(2)若点P是尸G的中点，半径长为3,求EM长C4【答案】（1）见解析；（2）y.【解析】【分析】（1）连接OP,由CD是。的直径E为弦AB的中点，即N1=90。,NC+/2=90。，GF是Co的切线,根据等腰三角形的性质得到N5=4.于是得到结论；（2）连接DE,n1=90。，得NG+NF=90。得N6+NG=90。，Z6=ZF,根据三角函数的定义得OG、FG的长，得EF、EM的值.【详解】（1）解：连结OP.VCD为C。的直径，E为弦AB的中点Z1=90Z2+ZC=90o.YP尸是。o的切

12、线,ZOPF=90o.Z3+Z4=90o.VOC=OP.ZC=Z3.Z4=Z2VZ2=Z5Z5=Z4AFM=FP(2)连接DEVZ1=90oZG+ZF=90o/Z6+ZG=90oZ6=ZF3/.cosZ6=cosZF=5在RsOPG中，VOP=3s3cosZ6=-5OG=5PG=4PF=PG=4GF=8Zr-ef3cosZr=85门245244EM=一4=-.55【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.7.(2023北京房山一模)如图，BE是OO直径，点A是。外一点：OAOBfAP切。于点P,连接BP交Ao于点CE求证：ZPAO=2ZPBO;(2)若。的半径为

13、5,tanO=4,求BP的长.4【答案】(1)见解析(2)310【解析】【分析】(1)连接PO,由切线的性质及垂直条件可得NA=NPoE,再由等腰三角形的性质即可证得结果；3(2)过点尸作尸MJ.即于点M,IanZPAO=IanZPOM=-t设PM=3%,MO=4A,则可求得08,从4而可得女的值，则在Rt外也中由勾股定理即可求得PB的长.证明：连接P。YAP切。于点POP1APNA+NAOP=90。OAOB/.ZPOE+ZAOP=90q.ZA=NPoEVOP=OB/.ZOPb=ZPBO.NPOE=2/PBO.*.APAO=2APBO解：过点尸作尸M_1B于点/3VtanZPAO=-43.,.tanZPOM=-4,设尸M=3Z,MO=4Z，由勾股定理得：OP=5k。半径为5OB=OP=5：.k=1：.PM=3iMO=4：.BM=BO+MO=9，在Rt中，ZPMB=OOopb=Jpm?+MB?=3I5【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及正切函数的定义等知识，连接半径是关键.8.（2023北京市第一六一中学分校一模）如图，ZkABC中，ZC=90o,点E在AB上，以BE为直径的O与AC相切于点。，与BC相交于点F,连接B。，DE.B(1)求证：ZADe=ZDBE;3(2)若SinA=BC=6,求。O的半径.【答案