极限计算方法总结.docx

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1、极限计算方法总结高等数学是理工科院校最重要的基础课之一，极限是高等数学的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到高等数学后面内容的学习。卜面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1 .定义：(各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述)。说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的b_极限严格定义证明，例如：Hm=O为常数且W0)；Iim(3*-1)=5；T8an-v21. 0,当1的1时也1t不存在,

2、当1时;等等(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2 .极限运算法则定理1已知Iim/(x),Iimg*)都存在，极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有(1)hmf(x)g(x)=AB(2) Iimf(x)g(x)=AB(3) Iimd=4,(此时需5/0成立)g(x)B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时,不能用。3 .两个重要极限1. sinXt(1) Iim=1XTOX-1(2) 1im(1+x)v=e；1im(1+)r=ex0.rX说明：不仅要能够运用这两个重要极限木身，还应能够熟练运用它

3、们的变形形式,作者简介：靳一东，男，(1964),副教授。.I例如：Iimsin3x=1,Iim(I2x)=e,1im(1+)3=e；等等。x03xx00O4 .等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理3当x0时，下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价，即有：元sin%tan尤arcsinxarctanx1n(1+x)-ex-1。说明：当上面每个函数中的自变量X换成g(x)时(g(x)O),仍有上面的等价关系成立，例如：当x0时，e3-13x；In(I-X2)-X2o定理4如果函数/(x),g(x)J(x),g(x)都是时的无穷小，且/“)1.1(x)1.f

4、(X)1(x)g(x)g(x),则当hm存在时，hm兮W也存在且等于fog(x)fog(x)1. (x)1./(x)1./.(X)f(x)Iim,即=hmoXTxog1(无)XfXOg(x)I*。gI(x)5 .洛比达法则定理5假设当自变量X趋近于某一定值(或无穷大)时，函数f(x)和g(x)满足:(1) /(X)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；(2) f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；1. f,(x)(3) hm.存在(或是无穷大)；gM./(x)1,f,()1./(x)1,f,()则极限hm7也定存在，且等于hm,即hm-=Iim。g(x)g(尢)g(x)8(尢)说明：

5、定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为型或“艺”型；条件(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6.连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果/是函数的定义去间内的一点,则有1im(x)=f(X0)。XTXO7,极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。定理8（准则2）已知%,5,zj为三个数列,且满足:(1) ynnzz,(篦=1,2,3,)(2) Iimyn-ay1imzn-

6、aT8则极限Iimxn一定存在，且极限值也是,即1imxn=a。c二、求极限方法举例1 .用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限.y3x12例1Iim(3x+1)2-22(x-1)(3x+1+2)=IimXT1(x-1)(3x+1+2)4注：本题也可以用洛比达法则。例2Iim4n(yn+2-n-)一8“1(T)+3例3Iim182+3上下同除以3.(4)+解：原式=Iim-1o1Z.(-r+12 .利用函数的连续性（定理6）求极限例4IimX1exx2解：因为%=2是函数/(x)=2e的一个连续点,1所以原式=22=4八。3 .利用两个重要极限求极限1 -cosX例5Iim503冗一2sm

7、2sm-12 2I解：原式=呵22=呵-=7o3xATO12.(二)26注：本题也可以用洛比达法则。例61im(1-3sinx)xx01-6sinX1im(1-3sinx)3snrX.v01-6sinX解：原式=Iim(I3SinX)=x0.n211例7hm(-)mn+12+1-3a+1-3解：原式=Iim(I+=)=F=IimK1+总)与K=e。ocH+1”TCC/T+14 .利用定理2求极限例8Iimx2sinXTOX解：原式=0(定理2的结果)。5 .利用等价无穷小代换(定理4)求极限1. x1n(1+3x)例9Iim7-Xfoarctan(x)解：犬fOH寸，1n(1+3x)3x,ar

8、ctan(x2)x2,二.原式=IimtW=3oXTO/sinx例ioIimv0x-sinx1. esnx(exnx-)1.esinA(x-sinx)1解：原式=hm；=hm；=1。v0%-sin%X-S1nX注：下面的解法是错误的：,一1.(-1)-(sint-1)rx-sinx1原式=hm=Iim=1o-r0%-sin%D%-sin%正如下面例题解法错误一样：1. tanX-sin%.x-xCIim=Iim=0o.r0%3.r0XJtan(x2sin)例11Iim-XTosin%解：丁当X0时，/sin，是无穷小，.tan(Ysi)与/SiJ等价，XXX2-1Xsin1所以，原式=Iim=

9、Iimxsin-=O。(最后一步用到定理2)x0Xx0X6.利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。(例4)1-cosX例12hm-一XTo3x2sinX1解：原式二二o（最后一步用到了重要极限）06x6xCOS例13Iim-XT1X-I.Tixsin解：原式=1Im12ICoSxSinxI解：原式=Iimr)=Iim=一=：。(连续用洛比达法则，最后用重要极限)ATO3x2-vo6x6sinX-XCOSX例15Iimv0XsinX7.利用极限存在准则求极限例20已知X1=V,xn+1=y2+xft

10、,（=1,2）,求Iimxz1解：易证：数列单调递增，且有界（08例21Iim(Z=+=+)yn2+2+2yn2+nn111n解：易见：/“1/一+/.JI.0,i=1,2,w,求Iim(O；+的+”/)”w解记4=maxq,%,%，则有11(ain+a2n+%尸()n=a91im=a.另一方面J1001e11(/+%”+*)(man)n=a(tn)n._1因为Iim=(Iim诟)=1,故IimQ=.利用两边夹定理，知nQOH?JITeOIim(Q/+。2+/)=。，其中。=max,2,”Jx2例如1im(1+3w+5+9w=9.nx习题2求1im(-1；11；).0n+z?+1+2n+解1+

11、2+n12n;O11；n+n+nn+n+n+n+2+1+2+n2+n+2(n1)J+2+.+2!2(/+2)n2+n+12+n+2n2nnn(1+)2(w2+i+1)1.n(1+n).n+1.n1Iim=Iim=Iim.m2(+2n)moo2+4nw2+2nIH.rn(+n)n1n002(*+n+1)w212122nn2利用两边夹定理知1.z12、11m(-+)=-n*n+1n+2n+2习题3求1im(-!+i122-3解1im(-+!)=1im(1-)+(-)+(-)f1f1223n(n+1)-223nn+=1im(1一一-Y=1im(1一一-)+,=1im(1一)w+,*(1一00/2+1/?+1Bn+1n+1=1im(1+!尸钊TJim(I-一=e,=e-xi-(n+1)fn+习题4求Iim-5(i,N)jt,I-Vx解（变替换法）令,则当1时，1于是,V1原式=Iimf1T”1.(1-r)(1+r+r2+r-1)Iim-1(1-r)(1+P+zw-,)习题5求Iim()77.cX-解（变替换法）令五=,x+,/+,原式=Iim(-/)=1im()r=1im(1+-)-,-1rIOCf-I-8，+1TOOt=1im(1+-)f(1-)z=e1e=e0=1.r/1.3/习题6求1im(-)sin(V型)。为了利用重要极限，对原式