概率论与数理统计基本公式.docx

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1、第1章随机事件及其概率（1）排列 组合公式mn 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。mn 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。加法原理（两种方法均能完成此事）：mn某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mXn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。（3） 一些 常见排列重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，

2、但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有 如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。彝事牖舞的飘鳍售髓髓事斯戛示辞示。H事螭耨事耦勒穆（f ）组成的集合。通常用大写字母 为必然事件，。为不可能事件。不可能事件（0）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（C）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（发生必有事件B发生）：A BBBAABA B,则称事

3、件与事件等价，或称等于：U 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为八F8或者人百，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：An B,或者AB。AB=0,则表示A与B不可能同时发生， 称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC) = (AB)C AU (BUC) = (AUB) UC分配率：(AB) UC=(AUC) (BUC) (AUB) C= (AC) U (BC)德摩根率：B AB AB AUBA， A设为样本空间，为事件，对每一个

4、事件都有一个实数P (A),若满3对于两两互不相容的事件AA2,有U .常称为可列(完全)可加性。1则称P(A)为事件A的概率。概型122。P( l) P( 2)P(U) /A1它是由1, 2m组成的，则有P(A)= ( ) ( ) . , 、D/ 12Im)= P(I)P( 2)n基本事件总数(9)几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件A,O其中L为几何度量(长度、面积、体积)。(H)减法 公式当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=O 时,P(F)

5、=I- P(B)(12)条件 概率定义设A、B是两个事件，且P(A)0,则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为P(BA) 不E。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(B)=1 P( K7A) = I-P(BZA)(13)乘法 公式1 A/ pU1)PfA2 A1) P(AjA1A2)nn 1An L(14)独立 性两个事件的独立性,则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且，则有ABABAB立。若事件A、B相互独立，则可得到 与、与、与 也都相互独多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ； P(B

6、C)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P (ABC)=P(A) P (B) P (C)那么A、B、C相互独立。公式设事件I 2 1 2P(B) 0(i L2 ，n)A UBii2i i ,则有 1122n设事件BL 2.Bn及A满足1 Blf B2, ”，B 两两互不相容，1. 2. ,. n,n U ii 1.P(B /A) iin此公式即为贝O斯公式。iP(Bj)，(i L 2, “，n)通常叫先验概率。,，2n),通常称为后验概率C贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。(17)伯努 利概型我们作了 “次试验，且满足 每次试验只

7、有两种可能结果，A发生或A不发生；.“次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；(1)离散 型随机变X件(逑酒寓黠瞳明变量的可能取值为Xk(k=l,2, ”)且取各个值的概率，即事P(X=xk)=Pk, k=l,2,则称上式主离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出：IP(X Xk) ph p , pk, o(1) k ,L2 ， k 1O设F (x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f (x)对任意实数X 有F (x) X f (x)dx IX率密度C称为的概率密度函数或密度函数，简称概密度函数具有下面4个性质： 1 2 V1 O积分元f (x)dx在连续型随机

8、变量理论中所起的作用与k在离k散型随机变量理论中所起的作用相类似。每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与 否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型.或称为“重伯努利试验CPA1 P 4 ,用Pn(k)表示重伯努利试验中A出现k( k垃次的概率，P11 (k) CkPQ.n,v 1? noK U I 乙 n第二章随机变量及其分布(4)分布 函数设X为随机变量，X是任意实数，则函数F(x) P(X x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P (a X b) F(b) F (a)可以得到X落入区间(a, b的概率。分布函数F(X)表示随机变量落入区间(-8, 内的概率。

9、分布函数具有如下性质：F(x) 1X;2 F(X)是单调不减的函数，即X2z /2、2时,有 F(1) F(x2);,F( ) Iim F(x) 1 ；XX.oV/ 1 A/4o F(X,即5o P(Xo对于离散型随机变量，F(x)；k xk x对于连续型随机变量，F(X) X f(x)dx 0分布二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为Q L2”P(x k) P (k) Ck Pkq,其。中nnq 1 rO p l,k QL2,n,则称随机变量X服从参数为n . p的二项分布。记为X B (n, p) o当 n 时，P(X k)

10、p 1 k, k 0 1 这就是(0-1)分布，所以(OT)分布是二项分布的特例。泊松分布P(X k) Jre , k!则称随机变量X服从参数为 的泊松分布，记为X () 或者P( )o泊松分布为二项分布的极限分布(np=, n-) o超几何分布k ,Cn N随机变量X服从参数为n, N, M的超几何分布，记为H(n, N, M) o几何分布随机变量X服从参数为P的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a, b内，其密度函数MX)在a, b 1上为常数Z-,即 b a1 , axb则称随机变量X在a, b上服从均匀分布，记为XU(a, b) o 分布函数为O1xa,F(X) x

11、 f (x) dxI 1，当aWxxWb时，X落在区间( 12P( X X) -o12Da指数分布.二其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为 0I 0,x0o记住积分公式：Xne dx正态分布X设随机变量解密度瓯数为其中、为常数，则称随机变量 服从参数为、的正态分布或高斯(GaUSS)分布，记为2 O的图形是关于X对称的；2 当时，f()L-若 2飞的分布函数为JOO参数 、1时的正态分布称为标准正态分布，记为x N(U)I其密渡函数记为h2 A IIX 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1 (-) = 1- (x)且(O)= 2 0 (，2),则P(x X X

12、)I?(6)分位 数(X)=;(X)二。(7)函数 分布离散型X12nP(X xi) P1, P2, ., P,Yg(X)的分布列-(y. g(.)互不相等)如下：Y I 12nP(Y y) 若有某些入i 二二一”,一一g( 连续型怕天,则应杓刈地刖怕加TF为网概平。先利用X的概率密度f()写出Y的分布函数F (y) =P(g(X)y),再利用变上下限积分的求导公式求出f (y)0 V(1)联合离散型 分布第三章二维随机变量及其分布如果二维随机向量 (x, Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(,y),贝麻 为离散型随机量。设=(X, Y)的所有可能取值为(, y )(i, j L2,),i

13、jP(x, Y) (,y) p .(i, j U)i j 为 二(x, Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分(1) P 20 (i, j=l,2,)；” PUL连续型(,),如果存在非负函数f G y) (X ,y ),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)axb, cyx 时，有 F (2, y) 2F(,y);当 y?y 时，有 F(,y?) 2F(x,y);F(x,y) F(x Qy), F(x,y) F (x, y 0);对于、2.2F(x, y) F (x , y ) F (x l y ) F (x , y ) 0. 22211211(4)离散 型与连续 型的关系P(X x, Y y) P(x X x dx, y Y y dy) f(x, y)dxdy分布X的边缘分布为Y的边缘分布为P P(Yy)。J连续型X的边缘分布密度为f ()XY的边缘