专题18随机事件与概率知识精讲解析版.docx

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1、专题十八随机事件与概率知识精讲一知识结构图内容考点关注点随机事件与概率随机事件、必然事件、不可能事件事件的分类随机事件的并、交与互斥的含义元素的互异性古典概型求概率概率性质互斥事件、对立事件的概率二.学法指导1 .判断一个事件是哪类事件要看两点一看条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.2 .写随机试验的样本空间时,要按照一定的顺序,特别注意题目的关键字,如“先后”“依次”“顺序”放回”“不放回”等.3 .判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件,无论是包含、相等,还是互斥、对立,其发生的条件都

2、是一样的.(2)考虑事件间的结果是否有交事件,可考虑利用Venn图分析,对较难判断关系的,也可列出全部结果,再进行分析.4 .互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的,它们之间既有区别,又有联系.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能只有一个发生,但不可能两个都发生；而对立事件必有一个发生,但是不可能两个事件同时发生,也不可能都不发生.所以两个事件互斥,它们未必对立；但两个事件对立,它们一定互斥.5 .求集合并集的两种基本方法：(1)定义法：若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解.6 .判

3、断一个试验是古典概型的依据判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征有限性和等可能性,二者缺一不可.7 .解古典概型问题时,要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样,技巧性强,在解决此类题时需要注意以下两个问题：(1)试验必须具有古典概型的两大特征一有限性和等可能性.(2)计算基本事件的数目时,须做到不重不漏,常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.8 .互斥事件、对立事件的概率公式的应用(1)互斥事件的概率加法公式P(AU8)=P(A)+P(B)是一个非常重要的公式,运用该公式解题时,首先要分清事件间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,然后

4、求出各事件的概率,用加法公式得出结果.(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时,可间接地先计算出其对立事件的个数,求得对立事件的概率,然后利用对立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=I,求出符合条件的事件的概率.三.知识点贯通知识点1事件类型的判断三种事件的定义随机事件我们将样本空间的工集称为随机事件,简称事件,并把只包含二小样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,.表示.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生必然事件Q作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称0为必然事件不可能事件空集。不包含任何样本

5、点,在每次试验中都不会发生,我们称0为不可能事件例1.下列事件：任取一个整数,被2整除：小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分；甲、乙两人进行竞技比赛,甲的实力远胜于乙,在一次比赛中甲一定获胜；当圆的半径变为原来的2倍时,圆的面积是原来的4倍.其中随机事件的个数是()A.1B.3C.0D.4【参考答案】B【解析】均是可能发生也可能不发生的事件,为随机事件,是一定发生的事件,为必然事件.故选B.知识点二确定试验的样本空间样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用丝表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用金表示样本空间有限样本空间如果

6、一个随机试验有n个可能结果3,32,.,必,则称样本空间Q=3M2,如为有限样本空间Q=02,M”例题2：指出下列试验的样本空间：（1）从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球;从1,3,6,10四个数中任取两个数（不重复）作差.【解析】（1）样本空间。=（红球,白球）,（红球,黑球）,（白球,黑球）.（2）由题意可知：1-3=-23-1=2,1-6=-5,6-1=5,1-10=-9,10-1=9,3-6=-3,6-3=3,3-10=-7,10-3=7,6-10=-4,10-6=4.即试验的样本空间Q=-2,2,5,5,9,9,一3,3,7,7,-4,4.知识点三事件关系的判断

7、1.互斥（互不相容）定义一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说好此是一个不可能事件,即AC8=0,则称事件A与事件B互斥（或互不相容）含义4与8不能同时发生符号表示A8=0图形表示Q2、互为对立定义一般地,如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即AUB=。,且ACB二0,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为不含义A与8有且仅有一个发生符号表示A8=0,AU8=Q图形表示o.例题3从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断卜.列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”

8、；“至少有1件次品”和“全是次品”；“至少有1件正品”和“至少有1件次品”.【解析】依据互斥事件的定义,即事件A与事件8在一次试验中不会同时发生可知：中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们的和事件不是必然事件,所以它们不是对立事件：同理可以判断中的2个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件；中的2个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件.知识点四事件的运算1、包含关系定义一般地,若事件A发生.则事件8定发生,我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）含义4发生导致8发生符号表示B?A（或AB）图形表示（O/2特殊情形如果事件B包含事件4事件A也包含事件

9、及即BA且A3,则称事件A与事件8相等,记作A=B2、并事件（和事件）定义一般地,事件A与事件8至M_仝发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）含义4与8至少一个发生符号表示AUB（或A+8）图形表示3、交事件（积事件）定义一般地,事件A与事件B酗发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）含义A与8同时发生符号表示AB（或A8）图形表示例题4.在投掷骰子试验中,根据向上的点数可以定义许多事件,如：4=出现1点,8=出现3点或4点C=出现的点数是奇数,。

10、=出现的点数是偶数.（1）说明以上4个事件的关系；（2）求A4U8工UD,BCD,BUG【解析】在投掷骰子的试验中,根据向上出现的点数有6种基本事件,记作A=出现的点数为i（其中i=1,2,.,6）.则A=AhB=AsU4,C=AiUA3UA5,D=A2UA4UA6.（1）事件A与事件8互斥,但不对立,事件A包含于事件C,事件A与。互斥,但不对立：事件8与C不是互斥事件,事件8与。也不是互斥事件；事件C与。是互斥事件,也是对立事件.（2）A8=0,AU8=AUA3UA4=出现点数1,3或4,4UO=AIUA2UA4U4=出现点数1,2,4或6).出现点数4.BUC=AUA3UA4UA5=出现点

11、数1,3,4或5.知识点五古典概型的判断古典概型的定义试验具有如下配合特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相壁.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.例题5.下列是古典概型的是()A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点时B.求任意的一个正整数平方的个位数字是】的概率,将取出的正整数作为样本点时C.从甲地到乙地共条路线,求某人正好选中最短路线的概率D,抛掷枚均匀硬币首次出现正面为止【参考答案】C【解析】A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是；B项中的样本点是无限的,故B不是；C项满足

12、古典概型的有限性和等可能性,故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性,故D不是.知识点六古典概型问题古典概型的概率计算公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间0包含个样本点,事件A包含其中k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=J三嗯,其中(A)和(Q)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数例题6.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为XJ.奖励规则如下：若xy3,则奖励玩具一个；若x8,则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小

13、亮准备参加此项活动.指针(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.【解析】用数对(XJ)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间0与点集S=(x,y)kN,yN,1r4,1),所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.10o10知识点七互斥事件、对立事件的概率公式及应用概率的基本性质性质1对任意的事件A,都有P(A)O.性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(0)=1P(0)=O性质3如果事件A与事件B互斥.那么aAU8)=P(A)+P(8).性质4如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(AP(A)=i-P(B).性质5如果AGB,那么P(A)P(B).性质6设A,8是一个随机试验中的两个事件,我们有P(AUa=P(A)+P(B)-P(A8).例题7.备战奥运会射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该选手射击一次，(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率.【解析】记“射击一次,命中A环”为事件4依=7,8,9,10).(1)因为4与A1o互斥,所以P(A)UAo)=P(A9)P(A10)=0.28+0.32=0.60