成考专升本高数第四章笔记.docx

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1、第四章多元函数微积分初步4.1偏导数与全微分.主要内容：.多元函数的概念1 .二元函数的定义：z=f(x9y)(x,j)D定义域：/)(/)2 .二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。(而一元函数是平面上的曲线).二元函数的极限和连续：1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件：1。在点*0,盟)的某个领域内有定S(点,J)可除外：2o1im(x,j)=AXXoJJo则称=/(x,y)在(乙,盟)极限存在，且等青。2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件：1。在点*0,盟)的某个领域内有定S2o1im(x,j)=/(x0,j0)xJJo则松=/(%,y)在(乙,盟)处连续,。.偏导数：

2、定义:/(巧),在(乙,/)点/；（/，/）/（XO，/）分别为函教（。）在（Xo，/）处对r,y的偏导数。z=（x,y）在。内任意点x,y）处的偏导数记为加，M竽喑*.全微分：1定义:z=f(x,y)若AZ=(x+x,j+y)-/(x,y)=Ax+BAy+o(夕)其中，A、8与Ax、Ay无关,o（p）是比p=J2+4/较高阶的无穷小量。贝!1:dz=df（x,j）=Ax+BSyz=（x,j）在点（x,y）处的全微分。3.全微分与偏导数的关系定理：窃(x,y),W(x,y)连续(X,y)Z贝!：Z=/(x,y)在点x,y)处可微且dz=fc(x9y)dx+fy(x,y)dy.复全函数的偏导数：

3、1设:z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)z=m(x,j),v(x,j)r1zuzv贝h+xuxvxzuzvIyuyvy2,设y=/(/),=(X)/=WX)y=小(X)#(%)dyyduydvdxudxvdx伏).隐含数的偏导数：1设小X,z)=O,Z=/(x,y),且理0贝!|包=一段包=_及5xF,JyF；啊X,y)=O,y=/(x),f;O则”三axFy(3二阶偏导数：/、2zGQz%(%)=WT=瓦(工)OXOXOX2zzyoyoy、a，fy(xJ)=羡(三)oxoyyox(、表z了(占了)=工-)yxxy结论：当*(x,y)和(x,y)为x,y的连续函数时则:fK%,y)=f;X(My)(A).二元函数的无条件极值1.二元函数极值定义：设Z(X,y)在(X。,盟)某一个邻域内有定3若Z(X,y)1当xO,y=O0,z(x,0)=-x2+11，驻点不一定是极值点。3 .极值的充分条件：设：函麴=(,y)在(乙,%)的某个领域日有二阶偏导数，目。,盟)为驻点：若：p=A（,/）F-/二（XO,盟）,舞（Jo）当：p0且/二（%0，/）耐，=/（%,To）为极小值当：p0,=/（X。,盟）不是极值当：p=0,n不能确定,求二元极值的方法：10求一阶偏导数，令两个阶偏导数等于容解出驻点2。求t,根据极值的充分条件判断驻点是否极值点。3。若驻点是极值点，求极值C