振动力学期末考试试题.docx

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1、冲以I，1/2”CJI2008年振动力学期末考试试题第一题（20分）1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量，匀质杆力少的质量股，长为1,匀质轮0的质量肌，弹簧的刚度系数上当44杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标,在静平衡位置时尸0,此时系统的势能为零。AB转角：中=yE系统动能：=-m1j2h动能：2Pm2动能产=KF乃/=KmX”其F犷m,动能产I，#；=Ki%9=4啊犷系统势能：V=-gy+rn2g(-y)+-*(-j)2在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因

2、而有:y+上式求导，得系统的微分方程为:丁F一二六出4(E1+-m2+m3)固有频率和周期为：0。=f/14(m1+-m2+-m3)2、质量为0的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮/连在质量为防的物块夕上；轮心C与刚度系数为4的水平弹簧相连；不计滑轮4绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物8的位移X作为系统的广义坐标,在静平衡位置时x=0,此时系统的势能为零。物体B动能:1.1.V=X0=X轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为2,角速度为2R,转=-JC过的角度为2o轮子动能：一=%*

3、+“%(2WeEX；击的=K1的在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有:T+7=-+m2）x2+r2=E上式求导得系统的运动微分方程：2kx+x=03个Sm2固有频率为:第二题（20分）1、在图示振动系统中，重物质量为加，外壳质量为2创每个弹簧的刚度系数均为九设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以乂和应为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解：系统为二自由度系统。当x1=1,x2=0时，有：k11=2k,k21=-2k当x2=1,x2=1时，有：k22=4k,k12=-2k因此系统刚度矩阵为:系统质量矩阵为:mOO2m系统动力学方程为:

4、2k-2金-2k4i!：=：频率方程为:AS)=-21-214i-2mfi2=O解出系统2个固有频率：=(2-2)-=(2+2)-WZ,WZ2、在图示振动系统中，物体从5的质量均为加，弹簧的刚度系数均为k刚杆Z的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：(1)以汨和处为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；(2)系统的固有频率方程。解:-k13fc1系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移Xi和为为系统的广义坐标。当x1=1,x2=0时，AD转角为e=3Z,两个弹簧处的弹性力分别为和2吟对D点取力矩平衡,有:%9；另外有占I=Tz0同理，当x2=1,x2

5、=1时,可求得:因此，系统刚度矩阵为:9-k1-k1系统质量矩阵为:系统动力学方程为:k1-k1-k1k1频率方程为:即:Uk1-miD9-k1-k1k1-uo7=OAA孙+oktNwww9m204-23fcto2+5i2=O7%：第三题（20分）在图示振动系统中，已知：物体的质量加、色及弹簧的刚度系数为左、k3、。（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若左=Jfe=Jfc=4，又2=2K,求系统固有频率；（3）取AI=1,0=8/9,m2=1,系统初始位移条件为X1（O）=9和X2（0）=0,初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统。当

6、XI=1x2=0时，有：k11=k1+k2+k4,k21=-k2当x2=1,x2=1时，有：k22=k2+k3,k12=-k2o因此，系统刚度矩阵为:A+y2+1占G占占系统质量矩阵为：mOOm2系统动力学方程为：For+2+pq=pf0叫IAJI-占占+i1J一1oJ(2)当上=i=N=1,G=2时，运动微分方程用矩阵表示为:.01140-2jxo10J1J1-2io3J1XJIoJ频率方程为:(4-m102)0-m202)-4=Om1m2)4(3m1+4m2)1o02+8七；=0求得:Of+4m2mm22m1m2v02=-0m4啊+w-8wm2+16m)2m1n2(3)当AF1,面=8/9

7、,h=I时，系统质量阵:系统刚度阵:4-2-23固有频率为:主模态矩阵为:3 - 21-13 - 41主质量阵:3 - 20主刚度阵:一一0189 - 40模态空间初始条件:(O)(O) *I=囱g1(0)模态响应:0i9=4cos(取=-4cos0因此有:巧。2(0第四题（20分）一匀质杆质量为b长度为1,两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为和k2。杆质心C上沿X方向作用有简谐外部激励s.图示水平位置为静平衡位置。（1）以X和6为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12,Z=1,A=I,&=3,求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率为多少

8、时,能够使得杆件只有夕方向的角振动，而无X方向的振动？解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选腔，为广义坐标，X为质心的纵向位移，。为刚杆的角位移，如图示。当万=1、e=o时：*21=(占-)当工=0、1时:=(-)=(+)因此，刚度矩阵为:*42(*21)0t2-)(+)4质量矩阵为:系统动力学方程:m0(-)(+*2)v24(2)当f12,二，Ai=1/=3时,系统动力学方程为:o阖七北HF频率方程为:,F(t)4-12d111一说=O即:12J-16+3=0求得:X令Ia,代入上述动力学方程，有:4-1202由第二行方程,解得）二一言，代入第一行的方程，有:1-02x(4-12fi2

9、)-1ff=-(4-12fi2)-I要使得杆件只Itfe方向的角振动，而无X方向的振动，则需元=o,因此=1。第五题（20分）如图所示等截面悬臂梁，梁长度为,弹性模量为右，横截面对中性轴的惯性矩为/,梁材料密度为。在梁的。位置作用有集中载荷尸&）。已知梁的初始条件为：JUO）=/CO,jOW）二为（耳。（1）推导梁的正交性条件；（2）写出求解梁的响应Juo的详细过程。(假定已知第，阶固有频率为相应的模态函数为礴8,i=1g)提示：梁的动力学方程为:?四察=g)其中fi6=FOa-力,S为5函数。解：(1)梁的弯曲振动的动力学方程为:*普H哈笆=。M=兴Z仪。=C0ash(破+切代入梁的动力学方

10、程，有:设与0，对应有的、名,有:国附=WpSi(1)(WT=WE%(2)式(1)两边乘以方并沿梁长对H积分，有:然理利衣=成彼卢3利用分部积分，上式左边可写为:b（w加fc=尔科利-考（和4碑（4）由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：（a9助辰=（E1蝌将上式代入（3）中，有：然占硝5触声（5）式（2）乘为并沿梁长对X积分，同样可得到：掰占可5的办（6）由式（5）、得:（W-硝加M本=O如果以/时，吁吗,则有：（心解声=0当丑）（8）上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（3）及（6）可得：h（E协fr=0上两式即

11、梁的主振型关于刚度的正交性。当i=/时，式（7）总能成立，令：f雄加C=M屈勺即为第J阶主质量和第J.阶主刚度。苏一4由式（6）知有：如果主振型分（功中的常数按下列归一化条件来确定：S融T（9）则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第J阶主刚度心为可。式（9）与（8）可合并写为：fa-&=与由式（6）知有“必解fc=哦，3矽仇=喷（2）悬臂梁的运动微分方程为：富m*=g)其中：(2)令：(3)-1代入运动微分方程，有:()晟标=i-iN(4)上式两边乘力(力，并沿梁长度对X进行积分，有：同：住谒)物办十时：展帆应=“*-(5)利用正交性条件，可得：心Q)+=Oja)(6)其中广义力为：Za)=J：尸氏一1=电(初始条件可写为：Xx,)=(X)x,o)=x)“(8)上式乘以照名3,并沿梁长度对X积分，由正交性条件可得：纥(0)=摩(加3V=电(加(加9)由式(6),可得：,(0)1rx9(0=g7(0)cosfij+fi+-j0()/6-)d(Io)=gj(Q)cosfij+fiy+虫(T)Si1/Q-)rfr利用式（3）,梁的响应为:=W%(0)s%i4/./1+z(F()si(Djff-d