专题22圆系方程与阿氏圆问题公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、圆系方程与阿氏圆问题知识点一圆系方程的应用1.相交两圆的公共弦若圆G：f+9+。/+片），+=0与圆+/2+0/+玛丁+g=0相交，则两圆方程相减，即可得到两圆的公共弦48所在的直线方程为：（。-2）x+（耳-4）y+K-E=O.证明设两圆C、C2的任一交点坐标为（%，为），则有：/2+Jo2+AX0+EIyO+=0，2+）/+D2X0+E2y0+F2=0-由一得：（。-。2）/+（与一马）%+月-玛=。，因此，人、8的坐标都满足方程：（D1-D2）x+（E1-E2）y+F,1-F2=0.又过4、B两点的直线是唯一的，故上述方程即为公共弦48所在直线的方程.注意（1）当两圆相切时，它为内公切线

2、方程；（2）当两圆相离或包含时，它为到两圆的与连心线垂直的切线段相等的点的集合；显然，当两圆相离且半径相等时，它为两圆的对称轴.【例1】求经过两条曲线f+y2+3-y=0和3+3y2+2x+y=（Xg交点的直线方程.【例2】平面上有两个圆，它们的方程分别是f+y2=i6和f+y2-6+8y+24=0,求这两个圆的内公切线方程.【例3】（2023新高考I）写出与圆Y+/=和*-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程.2 .IaVS直线经过圆。：/+,2+9+与，+尸=0与直线/：4+6，+。=（）的两个交点的圆系方程是：X2+y2+Dx+Ey+F+（Ax+By+C）=0.【例4】求过直

3、线2x+y+4=0和圆/+/+24一4丁+1=0的交点，且过原点的圆方程.3 .圆VSBI经过圆C1ZX2+y2+Dix+E1y+6=0与圆C?：/+产+D?x+刍），+居=0的两个交点的圆系方程是：X1+y2+Dix+Eiy+F1+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（其中-T,）,例5（2023尖草坪区期中）过点M（2,T）,且经过圆f+9“=。与圆f+J1=。的交点的圆的方程为（）C.x2+y2-x+y-2=0D.x2+y2-x-y-4=04 .mvs切点与圆c：V+v+m+切+尸=O相切于点(/，为)的圆系方程可设为：+y2+nr+Ey+F+(x-)2+(y-yo)2=0.我们按照

4、极限思想，把切点当作一个半径无穷小的圆，符合圆VS圆的圆系模型.【例6】求与圆Cx2+/一4工一8)，+15=0切于点A(3,6),且过点8(5,6)的圆的方程.5 .mvs切线经过圆。：丁+,2+6+4+尸二()与直线/：4+砂+。=0相切的圆系方程是：X2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0.我们按照极限思想，把切线的切点看成交线的两个无穷接近的交点，符合圆VS直线的圆系模型.本类型考题较少，我们仅仅介绍一下方法.【例7】(2023山东月考)已知一个圆经过过两圆Y+)，+4+y=-i,2+y2+2x+2y+1=0的交点，且有最小面积，求此圆的方程.【例8】已知圆式2+丁2+工一6

5、丫+?=0与直线不+2、-3=0相交于尸，Q两点，O为坐标原点，若OPJ_OQ,求实数?的值.【例9】(2023河南月考)过圆f+(),_2)2=4外一点A(3,-2),引圆的两条切线,切点为7；,T2,则直线7；4,的方程为.注意：凡是切点弦模型，即过圆历旧-。)2+。-初2=户外一点?(与，先)作圆的两条切线，设切点分别为A(x1,凹)和8(巧，),则切线方程分别为J/(I)我们发现直线附PB:(X-a)(x2-a)+(y-b)(y2-b)=r2PB为同构方程，且都满足产：CV1Ga1G+8一政%一)=：,即A,3两点都在同构方程PB:(与a)(x2-a)+(y0-b)(y2-b)=r(x

6、0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.,根据两点确定一条直线，我们可知AB方程为：(xo-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r2,这是利用极点极线的同构方程原理理解切点弦，对于任何圆锥曲线都适用，在圆的切点弦当中，我们发现尸、A、M、8四点共圆，故我们也可以将这个圆求出来，而AB即为两圆的交线，将两圆相减即可.同步训练1 .(2023沈阳期中)对于任意实数/1,曲线(1+2*+(1+/1)9+(6-4/1口-16-6/1=0恒过定点.2 .(2023娄底月考)己知圆G:d+),2-4彳_3=0和Gd+)/-),-3=0.(1)求两圆C1和G的公共弦方程；(2)若圆C的圆心在直

7、线x-y-4=0上，并且通过圆C1和C2的交点，求圆C的方程.3 .已知圆0：2+y2-23+4y+1=0和圆外一点A(3,4),过点A作圆的切线，切点分别为C、。，求过切点C、。的直线方程.4 .(1)求圆心在直线x+y=O上，且过两圆f+V-2x+10y-24=0,Y+/+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.(2)求过直线2x+y+4=0和圆/+V+2-4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程.5 .已知两圆M:2+y2+44y5=0和N:/+y2-8x+4y+7=0.(1)求证：此两圆相切，并求出切点的坐标；(2)求过点(2,3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程.6 .已知圆C:/+J+

8、42y+=O,直线/:工一丁一3二0,点0为坐标原点.(1)求过圆C的圆心且与直线/垂直的直线机的方程；(2)若直线/与圆C相交于M、N两点，且。W_1ON,求实数”的值.7 .已知圆C的圆心为原点。，且与直线x+y+45=O相切.(1)求圆。的方程；(2)点P在直线x=8上，过尸点引圆C的两条切线R4、PB,切点为A、B,试问，直线AB是否过定点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由.知识点二定点到圆上动点距离(1)形如+(y-匕)2形式的最值问题，可转化为动点(X,y)到定点(,)的距离的平方的最值问题.(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离

9、的最值.【例10(1)己知X,yR,且圆C：(X1+。+2)2=4,求(x+2)2+(y-2的最大值与最小值.【例II】(2023高港区月考)已知圆Ud+y2-2y=o,则衣+9一2+4)，+5的最大值为()A. 4B. 13C. 101D. 210+11【例12】(2023郸都区期中)已知实数X,y满足x2+(y-2)2=1,则卑单！的最大值为()2+/A.-B.C.1D.227【例13】已知圆C：(-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),8(0,1),设P是圆。上的动点，令4=解|2+伊用2,求d的最大值及最小值.知识点三可转化为点到直线的距离问题【例14】(2023重庆模拟)由直线

10、x+2y-7=0上一点P引圆/十/2-24+4)，+2=0的一条切线,切点为人则IPA1的最小值为()A.20B.7C.25D.27【例15】(2023成都开学)已知直线/:工一丁一1=0,圆U(x+iy+(y-2)2=1,P为/上一动点，过点P作圆C的切线尸M,PN,切点为M,N,则四边形尸AfeV面积的最小值为()A.7B.7C.8D.22注意：此也为切点弦模型最值得模型题，就是过圆心作已知直线的垂线，此时四点共圆的P、例、CN构成的四边形周长和面积最小.【例16】(2023和平区月考)已知实数X,y满足6x+8y-1=0,则Jd+J-2),+1的最小值为.知识点四与斜率、截距有关的最值问

11、题(1)形如=三形式的最值问题，可转化为过点(X,)，)和(,3的动直线斜率的最值问题.(2)形如=r+力形式的最值问题，可转化为动直线)，=一齐+/的截距的最值问题.【例17】已知圆C：0+2)2+y2=1,P(x,y)为圆C上任一点.(1)求旨的最大值与最小值；(2)求x2y的最大值与最小值.【例18】(2023多选皇姑区月考)已知实数X,)，满足方程f+y2-2-4y+1=0,则下列说法正确的是()A./+V的最大值为2+4B.*+2)2+(y+1)2的最大值为22+12C.x+y的最大值为3+2D.4x-3y的最大值为8【例19】(2023泸县模拟)已知函数/(x)=ZU-s0,xwR

12、),若(阳+1+(+I)?=2,则的取4f(m值范围是()A.-32B.13,2+3C.2-,3D.2-3,2+3同步训练8. (2023洛阳模拟)直线x+y+2=0分别与X轴，)，轴交于A,3两点，点尸在圆&-2)2+丁=2上，则ABP面积的最小值为()A.1B.2C.2D.2近9. (2023长沙县期中)BISC1x2+y+2x+4y+4=0,圆C2+V-44+2)，+1=0,M,N分别为圆G和圆G上的动点，P为直线Ay=x+2上的动点，则MP+NP的最小值为()A.2K)-3B.2i+3C.)-3D.+310. (2023惠州模拟)已知直线4x+3y+1=O被圆U(x+3)2+(y-m)

13、2=13(M6+4D.26+212. (2023多选南安市月考)已知P是直线x+y=2上的一个动点，过点P作圆O:/+9=1的两条切线，A,B为切点,贝J()A.切线长IPA1的最小值为#B.四边形RAOB面积的最小值为退C.存在点尸，使得NAPB=70。D.弦长A8的最小值为613. (2023多选荔湾区校级期中)已知直线/的方程为y-1=Z(x-2)(改为常数)，点。在直线/上，过点。作圆U(x-1)2+(y+2)2=1的一条切线QM,M为切点,若AQMC的面积的最小值为JI,此时()3A.ICQ1=3B.Ar=-4C.直线/上的动点E与圆C上动点F的距离IEr1的最小值为2D.直线/上的

14、动点E与圆C上的动点F的距离IM1的最大值为414. (2023多选市中区月考)己知实数X,)，满足方程+y2_4x+1=0,则下列说法错误的是(A.yx的最大值为#-2B.炉+9的最大值为7+4行C.的最大值为3D.y-X的最小值为-2X215. (2023宁波模拟)已知实数X,y满足(X-I)2+(y-2)2=1,则Z=尧与的取值范围是2+y216. (2023诸暨市期中)己知圆C:。-7尸+/2=16,过点”(5,0)作直线交圆。于A,8两点.若P(2,5),则IPA+PBI的最小值为.知识点五阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数420,4w1)的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”.特殊地，当Z=I时，点P的轨迹是线段AB的中垂线.背景阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.求证：已知动点P与两定点A、8的距离之比为40),那么点尸的轨迹是什么？证明