专题10 基本初等函数（知识梳理）（文）（原卷版）附答案.docx

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1、专题10基本初等函数（知识梳理）一、指数与指数函数（一）指数式的化简与求值1、化简原则：化根式为分数指数幕；化负指数曙为正指数累；化小数为分数：注意运算的先后顺序。提醒：有理数指数第的运算性质中,其底数都大于零,否则不能用性质来运算。2、结果要求：题目以根式形式给出,则结果用根式表示；题目以分数指数基形式给出,则结果用分数指数累形式表示；结果不能同时含有根式和分数指数累,也不能既有分母又有负分数指数累。例1-1.己知则化简，（44-1）2的结果是（）。A、-J1-44BJ4-1C、44a-1D、J1-44变式1-1.化简妫的结果是（）。a、-V7b、-V7uNd、V72_13_3变式1-2.已

2、知x+T=3,求下列各式的值：（1）+X;/+婷；。（二）指数函数的图像和性质1、定义：一般地,函数/（x）=（4O且。工1）叫做指数函数淇中X是自变量。2、(1)单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图像的无限伸展性,X轴是函数图像的渐近线。当OV4V1时,X+8J()0;a的值越小,图像越靠近y轴,递减的速度越快。当1时,Xf-8J(x)O;a的值越大,图像越靠近y轴,递增的速度越快。(2)画指数函数/(x)=M(qO且。工1)的图像,应抓住三个关键点：(1,。)、(0,1)、(-1,-)O且aw1)的图象可能是()。PV1iro!zX_Ob-JA、B、C、例1-3.函数/(x)=QX(0

3、且41)必过点。变式1-3.函数f(x)=/-2(0且a=1)必过点。变式1-4.函数/(x)=+2+3(0且11)必过点。例1-4.函数/(x)=W)JTN的单调递增区间是()。A、-1,2B、-1,-C、0,1D、-,2例1-5.求下列函数的定义域、值域:(三)指数函数的综合应用例1-6.设=49=848,c=d)T5,则。、b、C的大小关系为()。2A、ahcB、achC、hcaD、cabQQ9119例1-7.已知P=急，0=氤,那么P、。的大小关系是()。A、PQB、P=QC、PO且1)J=4,则()。A、/(-2)(-1)B、/(-2)(2)C、/(-1)(-2)D、/(1)(2)例

4、1-9.当时,证明函数/(x)是奇函数。优+1二、对数与对数函数（一）对数及其运算1、一般地,对于指数式G=N,我们把“以为底N的对数b”记作b=1og”N（0且1）其中。叫做对数的底数,N叫做真数。对数函数的一般形式为/（幻二1。g.x（。O且41）,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于的规定,同样适用于对数函数。注意：/=No力=1og.N（。0且aw1）的关系是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中要注意灵活运用。下图给出对于不同大小。所表示的指数函数和对数函数的图形:图像ahabOyaba指数函数：1/(幻=与/(幻=OOX/1/z洛,一一ZI对数函数：yyf()=1o

5、gf1X与f()=IOgbXV?I,a可以看到对数函数的图形只不过是指数函数的图形关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。2、对数的运算规律：(。、。、c0且久b、c1,MO,NO)(I)IogJ=OOg“=1,dg=N,1og“”=N；M1og”MN=1ogrtM+IoguNjOgo=IOgaM-1ogN；N(3)IOgZj=-Iog4z/?,Iogabn=/Hogb,1oghn=IOgab；amam/一11og./?IgbInb14.p.,.,(4)1ogwh=-=-=-=-:推JIogb-1ogfecIogrd=1ogd.Iogea1g。InaIogz,注意：在运用1ogb,=no

6、gab时,在无b0的条件下应为1og/=1ogtfW(M且为偶数)。3、几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为（O且01）IogaN常用对数底数为10IgN自然对数底数为e=Z71828InN4、对数式的化简与求值对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此,经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时,必须保证恒等变形。利用对数运算法则,在真数的积、商、毒与对数的和、差、倍之间进行转化。例2-1.求值：g迎2；(2)(1g5)2+Ig50Ig2；(3)-1g-1g8+1g2451og232493例2-2.求值：若2=5=10,求1+!的值；ab(2)若XIog34=1,求4、4

7、一、的值。变式2-1.关于X的方程】og2(xT)=2-k)g2(x+1)的解为。变式22已知函数r)=IgX,若式)=1,则/(。2)+/)=(二)对数函数的图像及其性质1、对数函数的图像aOVaV1图像yi0：1y=1ogx吟:y=*共性必迟t第一、四象限及K轴正半制必过(1,0)点,渐近线为y轴都是无界函数定义域为(0,+8),值域为A异性在R上是增函数,图形都是上凸的在R上是减函数,图形都是下凹的2、对数函数比较大小对数函数值大小的比较一般有三种方法：单调性法,在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,先化为同底。中间值过渡法,即寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”、“1”或其

8、他特殊值进行“比较传递”。图像法,根据图像观察得出大小关系。作差或作商法。3、对数函数与指数函数的关系指数函数互为反函数对数函数f(x)=ax(aO,a)xyiyx(x)=1ogx(a0a1)若指数函数y=/转化成对数函数X=/,但这么写不符合函数形式,就把X=命名为y=1og,产aOVaV1aOVaC1a06tbcB、acbCbacD、bca变式2-3.设。=10832,6=10852,。=邂23,则()。A、 abcB、 achCbacD、bca4、对数函数的图像与性质及应用研究对数型函数的图像时,一般从最基本的对数函数的图像入手,通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图像。例24.作出

9、下列函数的图像：f(x)=Igx,f(x)=1g(),f(x)=-1gx;F(X)=Ig1x|；/(%)=-1+Igx。例25已知函数/(x)=1og.*+1)(0且4w1),若当(-1,O)时,f(x)v,则f(x)在定义域上是()。A、减函数B、增函数C、常数函数D、不单调的函数例2-6.求下列函数的定义域、值域及单调区间：/(x)=1ogI(4-x)；(2)f(x)=1og2(x2)；(3)/(x)=J；(4)f(x)=Iog7-。71og2x-3x变式24求函数/(x)=1og(3)f的定义域。变式2-5.已知f(x)=优，g(x)=1og”X(qO且。w1),若/(3)g(3)vO,

10、则/(x)与g(x)在同一坐标系内的图像可能是()o变式2-6.己知f(x)=Ioga(优-1)(40且。，1),求/(x)的定义域并判断f(x)的单调性。三、募函数(一)零函数的定义：一般地,形如/(x)=xf,(aR)的函数称为辕函数,其中a为常数。1、判断基函数需：系数为1,底数为变量X,指数为一常数,后面不加任何项。例如：f(%)=3-2J(X)=/+1J(X)=X2+均不是累函数，再者注意与指数函数的区别例如：/()=f是嘉函数,f(x)=2x是指数函数。2、由于辕函数的解析式中只含有一个参数因此只需一个独立的条件即可确定其解析式,当已知累函数经过某一点时,可采用待定系数法求出解析式

11、。例3-1.已知点(当,3行)在鼎函数/(x)的图像上,求/(X)的解析式。变式3-1.已知函数/(x)=(/+2zn-2)M+2-6是寻函数,求f(x)的解析式。例3-2.已知某函数/(x)=(621I)X6,T在+a)上是增函数,则?=()oAs1B、2C、-1或2D、3变式3-2.已知函数/(=(-I)Xf13,当“为何值时J.：是幕函数；是幕函数,且在(0,+8)上的减函数；是正比例函数；是反比例函数；是二次函数。(二)塞函数的图像和性质1、图像分类：直线型：。=0或1；抛物线型：OVaV1或1;双曲线型：a0.2、累函数的图像特征:a=0yO1r=i(o)Xa=y/日0ia=Pa1p、(7都是奇数yKyUyVOS?yOX7p是奇数、4是偶数OkX工二1OXOX是偶数、g是奇数y厂,y)OXOXOX共性斗必经过(1,1)点,必经过第一象限,必不经过第四象限。除原点外,任何幕函数图像与坐标轴都不相交。,任何两个塞函数最多有三个大众点。彳方