专题10 空间向量与立体几何大题解题模板（理）（原卷版）附答案.docx

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1、专题10空间向量与立体几何大题解题模板一、证明平行或垂直的主要方法：1、证明线线平行的方法：(1)利用直线平行的传递性：1i13.1213=1i12;(2)利用垂直于同平面的两条直线平行：11,z21=12;(3)中位线法：选中点,连接形成中位线；(4)平行四边形法：构造平行四边形；(5)利用线面平行推线线平行：a二2,a=12;(6)建系:Zj(X,M,Z),4=(电,为，)4=浦2=/4。2、证明线面平行的方法：(1)利用线面平行的判定定理(主要方法)：1(za2a12=/,/a；(2)利用面面平行的性质定理：a,up=/J/a：(3)利用面面平行的性质：aB4(za/pn/|/a。(4)

2、建系：Z=(X,降马),平面a的法向量=(,当，Z2)=On4a。3、证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的判定定理(主要方法：证明两个平面内的两组相交直线相互平行)：1i/13,12/14Ji12=AJ3Q14=B,1Z2ua,/3、乙UPna/;(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)：1a,1a:(3)利用平面平行的传递性：a,=a(4)建系：平面a的法向量=C,y,Z),平面a的法向量%二(,%/2),%二%0ao4、证明线线垂直的方法：(D利用平行直线的性质:11Z3,=11Z2;(2)利用直面垂直的推理：11a,Z2a112:(3)中线法：等腰三角形中选中点,三线合一

3、；(4)利用勾股定理的逆定理：若/=62+。2,则必8。是直角三角形；(5)建系：Z1=(,j1,zi),Z2=,y2,z2),12=0=11205、证明直线与平面垂直的方法：(1)利用线面垂直的判定定理(主要方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直)：i-2,，i/3，2n4=A,，2、3Ua-1ci；(2)利用线面垂直的推理：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面；若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；(3)若两平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法)：!,=2,1,12=11a；(4)若两相交

4、平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面。(5)建系：I、=(,y,Z),平面a的法向量=Cr2,%,4)1=/1J1a。6、证明面面垂直的方法：(1)利用面面垂直的定义,即证明这两个平面所成二面角的平面角为90；(2)可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条垂线,再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行(常用方法：即证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面)。(3)建系：平面a的法向量4=(x,m，4),平面a的法向量n2=(-,y222),z7=a-1二、第二问立体几何中相关计算的主要方法：1、求距离：求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面

5、的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。两条异面直线的距离求法：利用公式d=股8(A、8分别为两条异面直线上的一点G为这两条异面直线的法向量)。n(2)点到平面的距离求法：“一我二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。等体积法。向量法：利用公式d=A为已知点,8为这个平面内任意一点,7为这个平面的法向量)。n2、求角两条异面直线所成的角求法：先通过其中条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得,但是注意到异面直线所成角得范围是(O,3,向量所成的角范2围是0

6、,乃,如果求出的是钝角,要注意转化成相应的锐角。直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。JTJT向量法,先求直线的方向量于平面的法向量所成的角a,那么所要求的角为王一。或a至。22平面与平面所成的角求法：“一找二证三求”,找出这个二面角的平面角,然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角,最后就通过解三角形来求。通过射影面积来求CoSa=2(在其中一个平面内找出一个三角形,然后找这个三角形在另外一个平面的S原射影,那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为8s,注意到我们要求的角为或-)；向量法,先求两个平面的法向量所成的角为a,则这两个平面所成的

7、二面角的平面角为a或c-a。我们现在来解决立体几何的有关问题的时候,注意到向量知识的应用,如果可以比较容易建立坐标系,找出各点的坐标,那么剩下的问题基本上就可以解决了,如果建立坐标系不好做的话,有时求距离、角的时候也可以用向量,运用向量不是很方便的时候,就用传统的方法了。3、解题注意点(1)我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题,但是当运用向量不是很方便的时候,传统的解法我们也要能够运用自如。(2)我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候,做至IJ“一找二证三求”,解题的过程中一定要出现这样一句话JNa是我们所要求的角”、“线段AB的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。(3

8、)用向量来求两条异面直线所成角时,若求出8sa=x,则这两条异面直线所成角为a=arc8sx(4)在求直线与平面所成的角的时候,法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余,若求出的角为锐角,就用二-a,若求出的钝角,就用a-22(5)求二面角时,若用第、种方法,先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角,然后再根据我们所作出的判断去取舍。三、答题方法技巧：1、证明面面垂直只能证明线面垂直。如证明平面a_1。,一般都是在两个面中找其中一个面中的一条直线与另一个面垂宜,这里有一个小方法技巧,一般都是在P面中找直线。小方法技巧：欲证平面a_1平面仇则只需在平面

9、a内找一条直线垂直于平面B内的两条相交直线，但一般需要倒过来证平面P_1平面a,具体思路是：(1)在平面P中找到一条直线丸,在平面a中找到两条直线/2、3；(2乂I1这一般题中直接给；(3)113,这一般需要证：I31平面V,/)V,则414；(4)/2/3=4即/2与/3有交点(这步必须写)/2、在平面a上(这步可以写可以不写)；(5)Z11平面a,从而推出平面1平面a,最后证出平面a平面。2、等体积公式：由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体,任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高,这就需要灵活换底面,但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”,它是三棱锥

10、求体积的巧妙方法,也是其“专属产品”。其他的,如四棱锥求体积就不能随意换底,不能用等积法求体积。另外,等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。但注意：等积法求体积时,要谨记“先证后求”的原则,先作出或证明底面的高,再计算三棱锥的体积。3、注意一般立体几何涉及到计算最好把各个需要计算的平面或图形在草纸上画出平面图形,这样就导成解简单的平面解析几何,也就是解三角形,使计算和理解更容易。模板1、立体几何中的基本关系与基本量问题例.如图所示的空间几何体中,平面平面AbeAb=bC=C4=Z4=OC=bE=2.5E和平面ABC所成的角为60,且点E在平面ABC上的射影落在NABC的平分线上。(1)

11、求证：DE平面AbC；(2)求多面体ABCDE的体积。构建答题模板:第一步：画出必要的辅助线,根据条件合理转化。第二步：写出推证平行或垂直所需条件,注意条件要充分；明确写出所证结论。第三步：对几何体进行合理转化(分割或拼补)。第四步：分别计算几何体的体积并求和。第五步：反复回顾,查看证明是否合理或者是否有遗漏点,明确规范书写答题。练习1-1.如图所示,Ab是圆。的直径,点C是圆O上异于A、5的点,尸。垂直于圆。所在的平面,且Po=OB=1若。为线段AC的中点,求证：ACJ_平面尸OO；(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值；若BC=41,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值。练习1-2.如图1

12、,在三棱锥尸一AeC中,PA，平面A3C,AC_13C.。为侧棱PC上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示。证明：4J_平面PbC；(2)求三棱锥0A5C的体积；(3)在ZACB的平分线上确定一点Q,使得PQH平面AR。,并求此时PQ的长。模板2、空间角或空间距离问题例2-1.如图,在长方体ABCD-A与GD1中，Ao=AA=I,A5=2,点E在线段上。求异面直线D1E与A1D所成的角；(2)若二面角Di-EC-D的大小为45,求点B到平面DxEC的距离。练习2-1.如图所示,在三棱柱ABC-A1居G中，AAJ,平面ABe,NACB=90,M是Ab的中点,AC=CB=CG=20求证：

13、平面AICMJ_平面ABB14；(2)求点M到平面AiCBi的距离。练习22如图,直二面角O-A一E中,四边形ABcD是边长为2的正方形,AE=EB,尸为CE上的点,且M1.平面ACE。(1)求证：AEJ_平面5C；(2)求二面角B-AC-E的大小:(3)求点D到平面ACE的距离。模板3、二面角问题根据定义找出或作出所求的角与距离,然后通过解三角形等方法求值,注意“作、证、算”的有机统一。解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是Ov90,其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0e90,其解法是作垂线、找射影；二面角OY64180,其方法是：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法。

14、另外也可借助空间向量求这三种角的大小。例3-1.如图所示,在七面体ABCOMN中,四边形ABCD是边长为2的正方形,MOJ1平面ABCD,NBJ_平而ABCD,且MD=2,NB=I,MB与ND交于P点。在棱AB上找一点Q,使QP/平面AMD,并给出证明；依(2)求平面8VC与平面MNC所成角的余弦值。/SxK构建答题模板:第一步：找出(或作出)具有大众交点的三条相互垂直的直线。第二步：建立空间直角坐标系,写出特殊点坐标,找(或求)两个平面的法向量。第三步：求法向量、%的夹角或CoSV6,2(若为锐二面角则求ICoSV第四步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角。第五步：反复回顾,选择最合理的空间直角坐标系,注意二面角的正负值,明确规范书写答题。练习3-1.如图,四棱锥尸一A与CD中,侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面垂直,底面AbCD是ZADC=60的菱形,M为PB的中点。(1)求PA与底面AbCo所成角的大小；(2)求证：P4J_平面COM：(3)求二面角。一MC-6的余弦值。练习3-2.如图所示,在四棱锥QABCO中,尸A=A。=Co=2A8=2,CoJ_ADQ4_1底面ABCD,M为PC的中点。求证：8M平面PAz)；(2)在侧面尸AZ)内找一点N,使MVJ_平面PBDx(3)求直线QC与平面P8D所