专题11 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式（重难点突破） 解析版.docx

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1、专题11任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理考点一角的概念1 .角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2 .角的分类按旋转方向不同分类正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角.零角：射线没有旋转象眼角：角的终边在第几象限按终边位置这不同分类1个角就是第几象限角、轴线角：角的终边落在坐标轴上3 .终边相同的角所有与角a终边相同的角,连同角在内,可组成一个集合：5=6|6=。+/360。/2或6|6=2kZ.知识点二瓠度制及应用1 .弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角

2、,弧度记作rad.2 .弧度制下的有关公式角的弧度数公式Ia1=:(弧长用/表示)角度与弧度的换算1-180rachIrad-(Tt)弧长公式弧长1=ar扇形面积公式115=Qr2知识点三任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫做a的正弦,记作sinaX叫做a的余弦,记作cosa叫做的正切,记作tana件象限符号I+I1+II1+IV三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段卬为正切线考点四同角三角函数的基本关系1 .同角三角函数的基本关系(1TfSina(xknr平方关系：si2+cos2=1(R)(2)商数关系：t

3、ana=cjJ2UZ,2 .同角三角函数基本关系式的应用方法技巧方法技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan9=鬻化成正弦、余弦,或者利用公式鬻=tan?化成正切表达式中含有sinCoS0与tan。1的变换1=siMe+CoS2/=COS2讥1+tan2?)=(sin0cos)2+2sinOcos9=taw表达式中需要利用1转化和积转换利用关系式（Sin0cos0）2=12sin9coSe进行变形、转化表达式中含有sinOcos0或sinaOS。考点五三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k+(kZ)an-an2a5+a正弦sina-sin-SinaSinaCoSaCoSa余弦cosa-CO

4、SaCOSCt一cos-Sina-sin正切tanatana一tan-一tan三、重难点题型突破重难点题型突破1任意角与弧度制例1（1）（2019广东省高一月考）角=-2弧度,则所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【参考答案】C冗【解析】角a=2弧度，2（-肛一,），a在第三象限，故选:C9（2）下列与1的终边相同的角的表达式中正确的是（）45C.360o-315VZ）D.+-（kZ）【参考答案】C【解析】与华的终边相同的角可以写成2E+与（AZ）,但是角度制与弧度制不能混用,所以只有参考答案C正确.故参考答案为：C（3） .（2023海南临高二中高二期末）（多选题

5、）下列结论正确的是（）A.是第三象限角OB.若圆心角为W的扇形的弧长为乃，则该扇形面积为当32C.若角二的终边过点P（-3,4）,则CoSa=-WD.若角为锐角，则角2。为钝角【参考答案】BC【解析】选项A：-Zf终边与多相同，为第二象限角,所以A不正确：66选项B：设扇形的半径为rgn,.二r=3,扇形面积为gx3x;T=当，所以B正确；223选项C：角的终边过点P（T4）,根据三角函数定义，COSa=-,所以C正确;选项D：角为锐角时，05,0乃，所以D不正确，故选:BC【变式训练1-1】.（1）终边在直线y=X上的角的集合是（）几71A.aa=-+k,kZB.aa=-2k,Z)44。C.

6、aa=-+k,kZD.aa=-+2kr,kZ44【参考答案】A【解析】与终边在条直线上的角的集介为4|夕=。+%乃MwZ,触了侬在同一直线上的角的&二十.故选A.（2）.1200。的角属于第象限.【参考答案】二【解析】1200=3X3600+120,120在第二象限,所以1200。的角属于第二象限【参考答案】_300-【解析】由题意得，一答|x180。=300。，-135=-135。X忌=孑.重难点题型突破2扇形的弧长与面积公式4例2.(1)(2018佛山市三水区实验中学高一月考)已知扇形的半径为2,面积为万,则扇形的圆心角的弧度数为.【参考答案】，3【解析】设扇形的圆心角的弧度数为1 942

7、S扇形=52=3,解得a=T2故参考答案为：匕3(2)已知扇形弧长为20Cm,圆心角为100。,则该扇形的面积为cm2.公上心360【参考答案】一.n.,r.,R2036.-1,136360【解析】由弧长公式I=IaIr、得r=.rux-=,S期形=-Ir=-20=.IOO乃22180(3)己知扇形的周长为6,圆心角为1,则扇形的半径为；扇形的面积为一.【参考答案】22【解析】设扇形的半径是因为扇形的周长为6,圆心角为1,所有2r+r=6,解得r=2,即扇形的半径为2,所以扇形的面积为122=2【变式训练2-1】.(2019春玉山县校级月考)已知在半径为6的圆。中,弦48的长为6,(1)求弦A

8、8所对圆心角a的大小；(2)求a所在的扇形的弧长/以及扇形的面积5.【解答】W-：(1)根据题意泮径为6的圆。中,弦八8的长为6,则AAOB为等边三角形,则NAO8=今即（X=1（2）根据题意,由（1）的结论,=Xr=2,S=r=6.【变式训练2-2】.（2019秋常德期末）九章算术中方田章有弧田面积计算问题,计算术日：以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是,弧田面积计算公式为：弧田面积=；（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形,公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有

9、一弧田,其弦长AB等于23,其弧所在圆为圆。,若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为以当则NAO8=（）2TrTrTT2rA.-B.-C.-D.一4323【解答】解：如图,由题意可得：AB=2同弧出面积5=4（弦X矢+矢2）=1（2JX矢+矢2）=21-sin2a=,sna5则=一一,故选：D.cosa12变式训练3-1.已知角a的终边上一点尸。几一百)(加0),且CoSa=(1)求加的值；(2)求出Sina和tana.【参考答案】(1)w=5(2)见解析【解析】(1)由题设知x=my=-J5,户=IOP12=(。为原点)，r=3+w2.所以COSa=y,n-mt/,r-J3+W=2,即

10、3+疗=8,解得加二土布.r422(2)当m=J时，COSaiSina=总sina,tana=一巫44CoSa5当机=一行时，cosa=-10-6,Sincr=,Sinatana=1544CoSa53【变式训练3-2】.已知任意角a的终边经过点P(-3,m),且8sa=-j,(1)求的值.(2)求Sina与tana的值.44【参考答案】(1)2=4；(2)sincr=.tana=-【解析】(1)I角a的终边经过点P(-3,m),IOP=7(-3)2+w2=y9+m2X7sa=-,3=，得=16,m=425：cosa=IOP1j9+n（2）解法一:乃3己知a(,乃)，且cosa=一二，由sin?

11、a+cos2a=.得Sina=JI-COS2=JI-(一令2=Bshia：.tanaCOSa4=543（2）解法二:若(?,乃)，则加=4,得p(-3,4),|0尸=5sina=IoP15,v44tana=-=x-33重难点题型突破4诱导公式例4.（多选题）下列化简正确的是（A.tan(+1)=tan1B.sin(-)tan(360-a=COSaC.sin(-a)cos(+a)tanaD.cos(-)tan(-)sin(2-)25【参考答案】AB【解析】利用诱导公式,及tana吧CoSaA选项：tan(-+1)=tan1,故A正确;sin(-a)_-sina_sina_B选项：tan(360-

12、)-tanaSina0,故B正确；COSCTsin(4一a)SinaC选项：-=-tana,故C不正确；cos(+a)-cosasinaD选项：cos(乃一a)tan(;r-a)=一COSa(-tana)=CoSa=,故D不正确sin(2-a)-sinasina故选：AB(2) .cos225=()1d2应n3A.B.C.一D.一2222【参考答案】C【解析】由三角函数诱导公式可知：cos225=cos(180+45)=-cos45故选C（3）已知sin0=g,则cos（450。+。）的值是（）1A.-51B.-526D.-21-5【解析】选Bcos(4500+6)=cos(900+=-y.【变式训练4-1】.（2023茂