专题5.4-立体几何中的轨迹问题、最值问题通关.docx

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1、专题04立体几付中的轨迹问题、最值问题通关1.如图所示，正方体ABC。-48C。的棱长为1,E,歹分别是棱AA,CC的中点，过直线E,产的平面分别与棱B9,DD交于M,N,设BM=X,x(0),给出以下四个命题：四边形MENF为平行四边形；若四边形MEA/面积S=/(x),x(0,1),则/(x)有最小值；若四棱锥AMEA/的体积V=P(X),x(0,1),则P(X)是常函数;若多面体ABe。一MENF的体积V=z(),x(g,1则Mx)为单调函数.其中假向孥为().A.B.C.D.【答案】D【解析】对于平面RT)W1I平面BCCR,.ENfF,同理：FVHEM,四边形MENF为平行四边形，故

2、正确3对于，四边形MEHF的面积S=(x)=(EFXMV),当”为58的中点时，即X=；时，My最短，此时面积最小，故正确；对于，连接AF,AM,AN,则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AE”为底，以M，N为顶点的两个小棱锥，因为AE尸的面积是个常数，M,N到平面AE尸的距离和是个常数，所以四棱锥C-MEN尸的体积V=P(X)是常函数，故正确；对于，多面体ABC。MENb的体积V=MX)=；匕seoTFe=g为常数函数，故错误.综上所述，假命题为.故选D2 .已知正方体ABCD-A1BJD的棱长为2,E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM平面/DE,则动点M的轨迹长度为

3、A.；B.涧C.2D.【答案】B【解析】以D为原点，以DA、DC、DD1为X、丫、Z油，建立空间直角坐标系，则DAI=(2,O,2),DE=(0,2,1),则有法向量为n=(2,1,-2),设M(x,2,z),则AM(x-2,2,z),由AMn=0有:2(x-2)+2-2Z=X-Z=1,故点M的轨迹为以BC、BB1的中点为端点的线段，长为炉：=故选B3 .在空间直角坐标系OTyZ中，到X轴和y轴距离相等的点的轨迹为()A.一个平面B.两个平面C.一条直线D.两条直线【答案】B【解析】到“轴和y轴距离相等的点的轨迹为如图所示的两个平面，故选B.45 .在空间直角坐标系。-孙Z中，正四面体P-AB

4、C的顶点A、B分别在X轴，y轴上移动.若该正四面体的棱长是2,则IOH的取值范围是（）.A./31,J3-*1JB.1,3C.1,2D.【答案】A【解析】如图所示，P若固定正四面体P-ABC的位置，则原点。在以AB为直径的球面上运动，设4的中点为M,则Hw=J2?=出,所以原点。到点尸的最近距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径,所以石-10PK+1,即|。尸I的取值范围是3-1s3+1.故选A.6 .如图所示，在正方形ABCD-A4GA中，E/分别为4G，GA的中点，点尸是底面AqGA内一点，且AP/平面EFOB,则tanNAPAI的最大值是（HA.B.1C.6D.222【

5、答案】D【解析】由题意可得，点尸位于过点,4且与平面EEDB平行的平面上，如图所示，取424用的中点连结的,4瓦NGGE,由正方形的性质可知：EFI1S,由ABEG为平行四边形可知NGI1BE,由面面平行的判定定理可得：平面AGHI1平面BEFD,据此可得，点尸位于直线GH上，如图所示,由4,平面44GA可得14产，则tan乙4尸=修，当以乙4尸4有最大值时，AP取得最小值，即点尸是GH的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时tanAP的值是22.本题选择D选项.7 .已知正方体的ABCD-1B1C1D1棱长为2,点M,N分别是棱BCcD1的中点,点P在平面人与弓内,点。在线段AN上，若PM

6、=#,则PQ长度的最小值为A.&-1B.&C.手TD.乎【答案】C【解析】过点M项上底面作垂线垂足为H点，连接HP,因为PM=有，又因为三角形，PHM是直角三角形，故得到PH=I,故P点是确定的轨迹，是在以H为圆心，1为半径的圆上动，故当PQ最小时，即过H点做4N的垂线，减1即可，最终得到竽-1故答案为;C.8 .如图，面4CQ1,B为AC的中点，|4。=2,/。30=60,呐岫的动点，且P到直线BD的距离为3则ZAPC的最大值为（）rA.30oB.60oC.90oD.120【答案】B【解析】TP到直线5D的距离为百空间中到线BD的距离为百的点构成一个圆柱面，它和面。相交得一椭圆，即点P在内的

7、轨迹为/T一个椭圆，B为椭圆中心，b=币,a=2,则C=Isin60oA3为椭圆的焦点.椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值NAPC的最大值为60。故选B.8.如图所示，在正方体ABC。一AqGA中，点M是平面AqGA内一点，且平面ACq，则A.B.C.2D.22【答案】D正方体,四cz-44GA中，连接4G，BR,交于点“，则点”满足条件J证明如下，连接3。，交NC于点。，连接BM,OBx,则4,4GC,且4,4=GC,四边形4CG4是平行四边形，JCJ1C1,又NCU平面XCn,且4G平面HCD1.AG平面AC，同理BWD1O,BM平面“ACA，当M在直线AG上时，都满足ACD

8、,tanZDMD1=吗=N=无是最大值.MD、2V故D选项是止确的.9 .如图所示，正方体ABCD-Adcb的棱长为1，E,F分别是棱AA,，S的中点，过直线E,F的平面分别与棱BB,、DD交于M,N,设BM=X,X0,1,给出以下四个命题：平面MENF1平面BDDB；当且仅当X=I时，四边形MENF的面积最小；2四边形MENF周长1=f(x),XE0,1是单调函数；四棱锥E-MENF的体积V=h(x)为常函数；以上命题中假命题的序号为().A.B.C.D.【答案】C【解析】连接BD,在正方体ABCD-ABCD,中，EFJ1平面BDdE,二平面MENFI平面BDDB,，正确;连接MN,VEF1

9、平面BDDB,四边形MENF的对角线EF是固定的，要使面积最小，只需MN的长度最小即可，此时M为棱中点，X=-，2MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小，正确;.EF1MN,1四边形MENF是菱形，3eo,1b1,EM长度由大变小，2J当xf,1时，EM长度由小变大，2.1=f()函数不是单调函数，错误J连接CE，CN，CIvb四棱锥分割成两个小三棱锥，以C,EF为底，分别以M、N为顶点，YZidEF面积是个常数，M、N到平面c,EF的距离是个常数，四棱锥C-MENF的体积V=h(x)为常函数，正确.Tr10 .如下图在直三棱柱ABC-A4G中，NBAC=万，AB=AC=AAy=Xf已知G

10、与E分别为Ag和CG的中点，。与尸分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD1EF,则线段长度的取值范围为().【答案】A当y=0时，线段。尸长度的最大值是1,（因为不包括端点，故y=0不能取，即。尸长度不能等于1）,故线段DF的长度的取值范围是:本题选择A选项.11 .设点M是棱长为2的正方体ABCD-A4C的棱的中点，点P在面BCGg所在的平面内，若平面APM分别与平面ABCO和平面3CC4所成的锐二面角相等，则点。到点G的最短距离是（）2小n垃C、rA.B.C.ID.523【答案】A【解析】设尸在平面,四CD上的射影为PM在平面3%GC上的射影为AV,平面D1PM与平面ABCD和

11、平面BCC1B1成的锐二面角分别为45,则CoSa=2丝q3=,SgFMS皿尸M1r-12、疗.cosa=COSMPM=S设尸到GAr距离为d,则耳乂石乂日二耳乂卜？=：,即点产在与直线GM平行且与直线距离为苧的直线上，尸到G的最短距离为d=乎，故选A.12.如图，直三棱柱ABCA4G中，AA=2，AB=BC=I,NABC=90。，外接球的球心为0,点E是侧棱8片上的一个动点.有下列判断：直线AC与直线GE是异面直线；AE一定不垂直AC”三棱锥EA41O的体积为定值；AE+Eg的最小值为2J1其中正确的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】如图,1直线4C经过平面BCCIB1内的点C

12、,而直线GE在平面BCG8内不过直线AC与直线GE是异面直线，故正确；当E与3重合时HSi1山,而CiBi1瓦.二13_1_平面必。则/1E垂直/G,故错误；由题意知:直三棱柱ABC-AiByCi的外接球的球心为。是ACy与AyC的交点,则A-iO的面积为定值住3的平面且4(7,-E到平面儿4】。的距离为定值,二三棱锥E-A,40的体积为定值，故正确；设Mr,则51=2-xsA.4E+Q=17+1+(2-x)2.由其几何意义,即平面内动点(冗1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值知,其最小值为20,故正确。正确命题的个数是3个。本题选择C选项.13.己知边长为1的正方形ABCD与CD

13、EF所在的平面互相垂直，点P,Q分别是线段BC,DE上的动点(包括端点)，PQ=M设线段PQ的中点的轨迹为s,则S的长度为()【答案】A【解析】如图,以DA、DC、DE所在直线分别为x、y、Z轴建立空间直角坐标系,设P(s,1,O)(0s1),Q(0,0,t)(0t1),M(x,z由中点坐标公式易知：X=1=,即s=2x,t=2z，222s2t21（D,把代入得，4xMz1.即/+Z2=-.4V0s1,0t1,1 10X-0z2 2,221*1的长度为-X2nX-=-.424故选：D.14.在棱长为2的正方体ABC。一AgCQ中，E,R分别是CG、AA中点，M,N分别为线段CRAO上的动点，若

14、EN1FM,则线段MN长度的最小值是()D./1X+z=0x-0z-JPQ中点M的轨迹方程为4*122）【答案】A=2轨迹1为在垂直于y轴口距原点乙的平面内，半径为A勺四分之一圆周.22以D为原点Q/为X轴QC为轴QD为二轴，建立空间直角坐标系,则年0,24VUOZ，设MoJMX,0,0)K02)j02,则Er=(x,-21-1)sFM=11J2),=(x-vi0),*51FM.Ey-FV=-x-2j-20,c=2-2y,线段MN长度取最小值V+rMN=x2=(2-2y)2y尸为四棱锥S-ABCQ表面上一点，且。M_1PN,则点尸形D.22本题选择A选项.15.底面为正方形的四棱锥S-ABCZ）,且SO1.平面ABCQ,SD=正,AB=I,线段SB上一M点满足的=1,N为线段C。的中点,MB2成的轨迹的长度为（）A.y2B.