因式分解的常用方法及练习题.docx

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1、因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+bc)二、公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如:(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2(2)完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2(3)立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)(4)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(5)完全立方公式：(ab)3=a33a2b+3ab2b下面再补充两个常用的公式：(6) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(7) ai+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2

2、+c2-ab-bc-ca)；三、十字相乘法.(-)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式：X2+(p+q)x+Pq=(X+p)(x+g)进行分解。特点:(D二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：X2+5x6X2-7x+6(二)二次项系数不为1的二次三项式一一ax2+bx+c条件：(1)a=axa2a(4) c=c1c2a2(5) b=aic2+a2c1b=aic2+a2ci分解结果：?+hx+c=(aix+c1)(a2x+c2)例7、分解因式：3-11x+10练习7、分解因式：(1)5x2+7x-6(2)3x2-7x+2(3) 10

3、,-1Ix3(4) -6y2+11y+10(H)二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2-Sab-2Sb2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于。的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b+(-16b)=-8b解：a2-Sab-USb2=a2+8+(-16b)a+8匕(16b)=(a+8b)(a-Ieb)练习8、分解因式(I)X2-3xy+2y2(2)m2-6mn+Sn2(3)a2-ab-6b2(四)二次项系数不为1的齐次多项式例9、2x2-Ixy-VGy2例10、x2j2-3xy+2把孙看作一个整体1-11(-1)+(-2尸-3解：原式二(Ay-I)-2)(2)a2x2-60x+8(

4、-3y)+(-4y)=-Iy解：原式二(x-2y)(2x-3y)练习9、分解因式：(1)15X2+7xy-4y综合练习10、(1)8x6-7x3-1(2)2x2-xy-5y(3) (x+y)2-3(x+y)-1()(4) (a+b)2-4a-4h+3(5)x2y2-5x2y-6x2(6)nr-4mn+4/?2一3机+6+2(7)x2+4xy+4y2-2x-4y-3(8)5(a+b)2+23(a2-b2)-0(a-b)2(9)4/一4孙一6x+3y+y2-10(10)12(x+y)2+11(x2-)+2(x-y)2四、分组分解法.(-)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am-an+bm+bn分

5、析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有。，后两项都含有6,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+)+brn+n)每组之间还有公因式！二(?+)(+/?)例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx解法一：第一、二项为一组：第三、四项为一组。解：原式二(2OX-1Oay)+(5by-bx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式二(20r-x)+(-1Oay+5by)

6、=x(2ab)-5y(2a-b)=(2a-b)(x-5y)练习：分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+四项分为一-组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所例4、分解因式：a2-2ab+b2-C2（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：X2-y2+ax+ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、以只能另外分组。解：原式二(，-y2)+(ar+ay)二(%+y)(-y)+g+y)=(x+y)(x-y+a)解：原式二(/2皿+从)_，=(a-b)2-C2=(a-b-c)(-b+c)练习：分解因式3、x2-x-9y2-3y4、X2-y2-z2-2yz综合练习：(1)x3+xyxy-

7、y(2) ax2-bx1+bx-cc+a-b(3) X2+6xy+9y2-6a2+8-1(4) chcih12Z?4。(5)a4-2a3+a2-9(6) 4a2x-4a2y-b2x+b2y(7) X2-2xy-xz+yz+y2(8) c2tzb2Z?+2aZ?+1(9) y(y-2)-(m-)(tn+1)(10) (a+c)(a-c)b(b-2d)五、换元法。例13、分解因式(1)2005X2-(20052-1)x-2005(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+X2解：(1)设2005=。，则原式=Or2(/一I)X-。=(r+1)(x-a)=(2005x+1)(x-2005)(2)

8、型如。力a+e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式二(Y+7+6)(x2+5x+6)+x2设x?+5x+6=A,则无2+7+6=A+2X，原式二(A+2x)A+x?=A+2AA1+Y=(A+x)2=(x2+6x+6)2(2)(x+3x+2)(4x+8x+3)+90练习13分解因式(1)(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)练习15、分解因式(1)(x+1)4+(X2-I)2+(X-I)4(2)x4-7x2+1(3)x+x+2x+1第二部分：习题大全经典一：一、填空题1.把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做把这个多项式分解因式。2分解因式：m3-4m=.3.分解因式：x2

9、-4y2=.4、分解因式：_/_4x_4=。5.将xyn分解因式的结果为(2+y)(+y)&一力，则n的值为6、若xy=5,盯=6,x2y-xy2=,2x22y2=。二、选择题7、多项式15+5-20疗的公因式是()11221212A、5mnb、c、5广口、5In-8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A(+3)(3)=?9B-b2=(a+b)(a-b)a2-4a-5=a(a-4)-510 .下列多项式能分解因式的是(A)x2-y(B)X2+1(C)x2+y+yz11 .把(Xy)2-(yx)分解因式为().(-y)(-y1)B.(yx)(-y1)C.(y-x)(y-1)D.(yx)

10、(yx1)12 .下列各个分解因式中正确的是()A. 10ab2c+6ac22ac=2ac(5b23c)B. (a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)C. x(bc-a)y(abc)ab-c=(bc-a)(xy-1)D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)13 .若k-12xy+92是一个完全平方式，那么k应为（）.2B.4C.2y2D.4y2三、把下列各式分解因式：1伙tvc-ny4n2-9n216根（/）+（一机）I,、a3-2a2bab2p(炉+4)-16X-9(w+z)2-16(w-)2.10*7；五、解答题20、如图，在一块边长=6.

11、67cm的正方形纸片中，挖去一个边长人=3.33Cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d=450n,外径O=75n长/=36。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？（）取3.14,结果保留2位有效数字）22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。(1)x2-1=(x+1)(x-1)X4-1=(x2+1)(x+1)(x-1)(3)x8-1=(x4+1)(x2+1)(x+1)(x-1)(4)x,6-1=(x8+1)(x4+1)(x2+1)(x+1)(x-1)1 .分解因式(1+y)2-2x2(1y2)+x

12、4(1-y)22 .证明：对于任何数x,y,下式的值都不会为33x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5因式分解小结因式分解的一般步骤是：（I）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；1 .通过基本思路达到分解多项式的目的例1.分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再

13、进一步分解；也可把，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式解二：原式二2 .通过变形达到分解的目的例1分解因式解一：将拆成，则有解二：将常数拆成，则有3 .在证明题中的应用例：求证：多项式的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。证明：4 .因式分解中的转化思想例：分解因式：分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b,b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设a+b=,b+c=B,a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换

14、”是很重要的。1、在中，三边a,b,c满足2、若X为任意整数，求证:中考点拨求证:的值不大于100。3、将试卷(因式分解)一、填空：(30分)1、若Y+2(6-3)x+16是完全平方式，则机的值等于c2/+冗+m=(%一)2则机=n_3、2x2与i26y的公因式是_4、若产一了=。+/)*一),2+y4),则m=，n=。5、在多项式3V5y3=i5y5中，可以用平方差公式分解因式的有,其结果是。6、若一+2(加-3)x+16是完全平方式，则m=。7、X2+()+2=(x+2Xx+)8、已知1+K+.+EXM+2OO5=o*6=.9、若16(一2+m+25是完全平方式M=o10、x2+6x+(_)=(+3)2,x2+()+9=(x-3)211、若9,+&+),2是完全平方式，则=。4、若+y=4,2