因式分解方法大全.docx

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1、因式分解方法大全(一)因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中。因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。它与整式乘法是方向相反的变形，是有效解决许多数学问题的工具。因式分解方法灵活，技巧性强。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。因式分解的主要方法：提公因式法；运用公式法；分组分解法；十字相乘法；添项折项法；配方法；求根法；特殊值法：待定系数法；主元法；(I1)换元法；综合短除法等。一、提公因式法：tna+mb+me=tn(a+b+c)二、运用公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平

2、方公式：a22ab+b2=(ab)2立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)(新课标不做要求)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(新课标不做要求)(5)三项完全平方公式：a2+b2+c2+2ab2ac+2bc=(a+b+c)2(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-be-ac)三、分组分解法.分组后能直接提公因式例：分解因式：2ax-1Oy5by-bx解法二：第一、四项为一组：第二、三项为一组。原式:(2以-bx)+(-1Oay+5by)=x(2a-h)-5y(2a-b)-(2a-b)(x-5y)解法一：第一、二项为一组；第三

3、、四项为一组。解：原式:(2X-10ay)+(5by-hx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)。分组后能直接运用公式或提公因式例：分解因式：(-2abb1-c1解：原式二储_2皿+=(a-b)2-c2-(a-b+c)(a-h-c)四、十字相乘法.凡是能十字相乘的二次三项式双2+法+0,都要求A=2-4c0而且是一个完全平方数。二次项系数为1的二次三项式：x2+bx+cf条件：如果存在两个实数p、q，使得C=的且Z?=+q,那么f+b浒c浒)“先例1、分解因式：X15x+6分析：将6分解成两个数的积，且这两个数的和等于5。由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(

4、-6),从中可以发现只有2X3的分解适合，即2+3=5o12X解：X2+5x+6=2+(2+3)+2313=(x+2)(x+3)1X2+13=5二次项系数不为1的二次三项式一ar2+bx+c条件：(1)a=axa2(2) c=c1c2(3) b=axc2+2ci%C1Xa2C2b=axc2+a2ci分解结果：ax2+c=(a1x+ciX2+c2)例2、分解因式：3/一1+10分析:1X-23-5(-6)+(-5)=-11解：3x2-11x+10=(x-2)(3x-5)二次项系数为1的齐次多项式例3、分解因式：m2-6mn+8n2解：原式=m2+(-2n)+(-4n)m+(-2n)(-4n)=(

5、m-2n)(m-4n)1-2nX1Tn(-2n)+(-4n)=-6n二次项系数不为1的齐次多项式例4、2x2-7xy+6y212y2-3y(-3y)+(-4y)=-7y解：原式=(x-2y)(2x-3y)五、添项、拆项法：(IX巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项(或几项)适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。例1、因式分解Q2-+4a+2+3解析：根据多项式的特点，把3拆成4+(-1),解：a2-b2+4a+2b+3=a2-廿+4+2/？+4-1=(a2+4a+4)-(b2-2b+)=(a+2)2-(b-)2=(a+b+1)(a-b+3)例2

6、、因式分解x36x2+11x+6解析：根据多项式的特点,把6/拆成2/+41；把拆成8无+3工解：X3+6x2+x+6=(x3+2x2)+(4x2+8x)+(3x+6)X2(X+2)+4x(X+2)+3(X+2)=(x+2)(+4x3)=(x+1)(x2)(x+3)(2巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。例3、因式分解一+4i解析：根据多项式的特点,在/中添上42y2,-4y2两项，解：+4/=(X4+4x2y2+4)-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)例4、因式分解x3-3x2+4解析：根据多项式的特点，将一3一拆成4+2,再添上4,两项，则解：x3-3x2+4=x3-4x2+4x+x2-4x+4=x(x2-4x+4)+(x2-4x+4)=(x2-4x4)(x+1)=(x+1)(-2)2六、配方法。对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例：分解因式f+6x-72解:x2+6x-72=x2+6x+9-9-72=(+3)2-92=(x+39)(x+3-9)=(x+12)(x-6)