多元函数极值解法探究毕业论文定稿.docx

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1、陈雨涵毕业论文多元函数极值解法的研究摘要：科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,但是有些问题用初等的方法去解决，有时显得麻烦，有时根本无法解决。鉴于此，本文从一下几方面作了介绍：二元函数极值的定义及存在条件、二元函数极值的一阶偏导判别法；条件极值的求解方法及应用；n元函数极值的定义及存在条件及存在问题、n元函数的累次极值、向量法求解一类多元函数极值。通过以上方法的介绍，旨在为以后的学习和实际工作带给一定的方便。关键词：多元函数；极值；充要条件；方向导数；偏导数；矩阵；驻点；Abstract:Thereexistagreatmanyprob1emsofe

2、xtremeva1uetoso1veinscientificproductionactivity,someofthem,canbeworkedoutusinge1ementarymethods,whi1eotherprob1emseithercanbeso1vedwithgreatdifficu1ty,orcannotbeso1ved.Inviewofthis,thispaperwerepresentedtosevera1aspects:thedefinitionandexistenceconditionsoftheextremeva1ueofthedua1function,theoneord

3、erpartia1derivativescriterionoftheextremeva1ueofthedua1function,theso1utiontoextremeva1ueprob1emWithconditionsanditsapp1ication,thedefinitionoftheextremeva1uesoffunctionwithnvariab1esanditsexistenceconditions,n-varib1efunctionrepeatextreme,theso1utiontoakindofextremeva1ueprob1emofmu1ti-function,usin

4、gvectorthroughtheintroductionsofabovemethods,itisdesignedtobringsomeconveniencetoourstudyandwork.Keywords：mu1ti-varib1efunction;extreme;NecessaryandsufficientconditionDirectiona1derivative;firstpartia1derivative;Matrix;critica1point;1绪论11研究多元函数极值的意义科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,目前最有效的方法是应用

5、微分法求极值.函数的极值一直是数学研究的重要内容之一，由于它的应用广泛，加之函数本身变化纷繁，所以人们对其方法的研究较多，像不等式法，导数法，从矩阵的角度解决函数极值，利用拉格朗日乘数法解决函数的极值等等。这些理论的提出并得到应用，与诸多数学家在这方面的努力是分不开的，他们给出了许多好的解决函数极值的方法，且将诸理论与实际有机的结合起来，这不仅为科研打下了良好的基础，也为诸多领域的实际工作提供了便捷，如在经济，管理，金融，科研等方面提供了便捷的方法，使得许多问题很便利的得以解决。多元函数涉及到的量比较多，在求解某类形式上比较复杂的函数的极值问题比较困难，所以在本文中也介绍了利用向量方法求解一类

6、多元函数极值的方法。所起到的效果还是很理想的。但是该方法所使用的范围比较的窄，只适合于某类函数极值的求解,所以具有很大的局限性,但是作为一种求多元函数极值的方法,我们很有必要关注它。同时我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值的求解，在解这种条件极值的问题时当然我们不能不考虑其限制条件，那么我们什么时候、什么地方、如何用这些限制条件就成了我们所关心的问题。就以上问题，在本文中给出了几种求条件极值方法。旨在能为求条件极值提供一些可寻的方法。因为在解题的过程中合理的选择一种好的方法，就等于成功了一半，同时可以大大减少解题的时间，对拓展解题的思路是很有帮助的。不等式的证明是数

7、学的学习过程中我们经常遇到，其证明具有很强的技巧性,方法灵活多变,同时对综合能力和分析能力的要求都很高。目前有多种形式的方法来证明不等式.但在本文中给出了应用多元函数条件极值的解法来证明不等式的方法,即在不等式证明中,适当变换目标函数和相应的限制条件,结合实际问题的提法来证明不等式。在本文中就以用拉格朗日乘数法来证明不等式的方法以举例的形式略作了介绍。由上述，我们对多元函数极值的求解方法做一个比较全面的了解是相当重要的。1.2回顾一元函数极值我们先来讨论函数的极值，且总假定/(戈)在。,句上是连续的。若对于一点x0,存在与的某一邻域(Xo-6,%+b)(0),使对于此邻域中的任意点X,都有/(

8、x)/(与)，则称/(x)在/有一极大值/(小)，/称为极大值点，同样我们可以定义函数/(幻的极小值。若在上述的/(x)(0)中等号不成立，我们就称为是严格极大值.同样可以定义严格极小值。定理1(极值的必要条件)若/是/)的极值，那么/只可能是/(X)的零点或/(x)的不可导点。定理2(极值判别法之一)设f(X)在(-瓦Xo)和(,+b)(b0)可导，那么若在(飞-)/)内八幻0,则%为极小值点。若在(Xo-2/)内f(x)0,而在(Xo,%+5)内f(x)0,则与为极大值点。定理3(极值判别法之二)设f(%)=0,若八彳0)f(p。)对一切pD成立,那么Po称为/的一个(严格)极小值点,而/

9、(PQ)称为函数f的一个(严格)极小值。同样定义(严格)极大值点和(严格)极大值.极小值和极大值统称极值。2.1.2 二元函数取得极值的条件定理1(必要条件)设函数F(X,y)在点(AO,%)具有偏导数，且在点(Xo,%)处有极值，则它在点的偏导数必然为零；力(%,%)=。丫(入0，%)=0证明：不妨设z=/(x,y)在点(0,y0)处有极大值，则对于(0,%)的某邻域任意(,y)C,%)都有f(,y)(,y0)故当y=%xHXo时，有了(乂%)/(/，为)说明一元函数/(羽为)在X=Xo处有最大值，必有(%，%)=()；类似地可证4(%,%)=0。D中使0时具有极值，当A0时有极小值；AC-

10、晨。时没有极值;AC-公=。时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论;例1:求函数z=x(x+y2+2y)的极值。/。二%o=1=e2t(2x+2y2+4y+1)=0解：令x更=(2y+2)=0办在驻点(%,T),有H+y2+2y+i)(%f=2e0，8=4*()，+1)必)=0,fAC-B2=4e20,故f(x,y)在点取得极小值，/(,-1)=-o2.2 二元函数极值的一阶偏导判定方法对二元函数极值的判定，不仅可以借助于二阶导数进行判定，还可以借助于使用范围更广泛的一阶导数进行判定。2.2.1 判别方法首先给出一个引理如下：引理：设函数/(X)在区间/上有定义，在O(Xo)u/连续，在o

11、(x,b)可导,(1)U)U-)O,Vxo(,3),则F(X)在/取得极小值。若f(r)(k-%)0(x0,),则/(X)在/取得极大值。证明：可以利用下述中值定理，即f(x)/()=/(+6*-XO)(X-)(00,TP(X,y)wo(po),则F(X,y)在Po取得极小一%)Uoo)DP(X,y)co(PO)由P(X,y)的任意性以及极值的定义，可知，函数/(%,y)在PO取得极小值。同以上证明方法可以得到，在条件下，函数/(x,y)在Po取得极大值。结论证毕。考虑到条件，的结构，若记W=，PoP=(X-W-%)引入心中的内积WPoP=%*To)+g(y-y0),则可将定理写成更简xy洁的形式。2.2.2 推广在引入上述记号后，我们可以将问题推广到n维情形：定理2：设。uT为凸区域，p0D,若广DR,在。(PO)连续，在。(0)可导，若WPoPO,VP0(Po),则函数/在Po处取得极大值。证明同定理1,此处不再赘述。2.2.3 应用与一元函数相同，由于二元函数极值的一阶偏导数准则比利用二阶偏导的判别法要求的条件弱，从而一阶偏导数判别准则的应用更为广泛。例1：试研究函数/(x,y)=1-亚了在原点(0,0)是否达到极值。解:由于它yJx2+y2,72y,当(x-0,y-0)X在原点处无定义，不能利用二阶判别法。可利用定理1,V(x,y)(0,0),因为-=