数理经济学第5章课后题答案.docx

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1、第五章习题答案1.求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组。max/(x1,x2)=x1x2s.t.x1+4x2=16maxorminf(x1,x2)=xfx2s.t.2+%2=3maxormin/(x,y)=xys.t.x2+y2=1和X+y=解：1首先写出拉格朗日函数：1(x,2,2)=x,x2+2(16-x1-4x2)将1对王，%和4分别求偏导数可得：解得*8,%2=2,*=2,此时/=16。则点(8,2)为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。2首先写出拉格朗日函数：1(x1,x2,2)=x12x2+(3-2x12-X22)将

2、1对王，%和4分别求偏导数可得：解得X；=1,=1，4*=g，此时/=1；或者X；=1,%2*=-1，-此时/=-1；或者x；=-1,为2=1,=g，此时/=1；或者x=_1x；=-1,万=-g,此时/=-1O则点(1,1)、(1,-1).(一1/)和为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满足约束规格。3首先写出拉格朗日函数：Z(x,y,1,2)=xy(1x2jj)2(1xy)将1对,y,4和友分别求偏导数可得：解得y=,y=o,4*=一J，4*=1,此时/=0；或者y*=0,)J=i，4=-g,22,=1,此时/=0。则点(1,0)和点(0,1)为目标函数的驻点，且在这两点处约束条件满足约束

3、规格。2 .利用等式约束极值问题的二阶充分条件判断习题1中求得的点是否为极大值点或极小值点。解：1对4=工2二,4=$一44=求偏导数可得%=1xzx2=O,At1V2=X1=1,加边元素g=-1,g,t2=一4。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，在*=8,/*=2处函数取得极大值/=16。21Xi=2xix2-4xi=O,A?=$2-24/=0求偏导数可得ZV1=2%24义，At2X2=一24ZV2=1M、=2x1,加边元素gXi=-4x1,g*=-Ix2。所以，海赛加边行列式为：当x1*=1,x2*=1,=时，所以，由定理5.2得，在芭*=1,J=1处函数取得极大值/*=1。当

4、*=1,X2=1,万=时，所以，由定理5.2得，在*=1,J=T处函数取得极小值*二T。当X；=1,%2=1，*=5时，所以，由定理5.2得，在=%2*=1处函数取得极大值/*=1。当x*=1,x2*=I,2+=一弓时，所以，由定理5.2得，在芭*=-1,%2*=T处函数取得极小值/=一1。(3)对1r=y-1xx-2=0,1y=x-2xy-2=0求偏导数可得1XK=1yy=-22,=1yx=1,加边元素g=_2x,gy=-2y,g2x=2v-1,gy=-1。所以，海赛加边行列式为：当X*=1,y*=0,1*=，4*=1时，当=o,y*=1,彳=一；，4*=B寸，所以，由定理5.2得，在x*=

5、1,y*=0或者x*=0,y*=1处函数取得极大值=0。3 .求函数/(x,y,z)=x+y+z?在约束，+y2+z2=0和=0下的可能的极值点。解：首先写出拉格朗日函数：1(x,y,z,21,)=xy+z2+,(-x2-y2-z2)-2y将1对X,V,Z和4,4分别求偏导数可得:解得该方程无实解，存在虚数解：X=-,/=0,z*=-Z,4*=1,Z*=1,此时22=-o44 .利用海赛加边行列式确定下面每一小题的Z值是极大值还是极小值。1Z=Ay满足约束+2y=2;22=宜丁+4)满足约束工+丁=8；3Z=X-3一孙满足约束x+y=6；4Z=X2y+7满足约束x+y=0。解：1首先写出拉格朗

6、日函数：Mx,2)=xy+(2-x-2y)将1对X,V和4分别求偏导数可得：解得=1,/=2*=p对4=y-4=0,4=x-21=0求偏导数可得1VX=1=0,1xy=1yx=1,加边元素g=-1,gy=-2O所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，z(1,1)=!为目标函数的极大值。222首先写出拉格朗日函数：1(x,y,2)=x(y+4)+2(8-x-y)将1对X,丁和4分别求偏导数可得：解得X*=6,y*=2,2*=6,对4=y+44=0,4=彳一丸=0求偏导数可得1AA=1yy=0,1xy=1yx=1,加边元素g=g.=-1所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，z(6,2

7、)=36为目标函数的极大值。3首先写出拉格朗日函数：1(x,y,)=x-3y-xy+(fi-x-y)将1对X,丁和4分别求偏导数可得：解得X=1,y*=5,2*=4,对1V=I_义=0,4=_彳_3_a=0求偏导数可得1S=1)=0,1xy=1yx=-1,加边元素g=g=-1。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，z(1,5)=-19为目标函数的极小值。4首先写出拉格朗日函数：1(x,y,2)=X2-y+7+-x-y)将1对X,丁和4分别求偏导数可得：解得X=_1，/=7几*=一1,22对1V=2%-4=0,4=_%=()求偏导数可得1XV=2,4V=O,1D=1,X=O,加边元素g=

8、g,=-1所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，z(-g,g)=7为目标函数的极小值。5 .求原点(0,0)到椭圆X2-xy+y2=3的最大和最小距离提示：目标函数取为x2+y2-简化运算。解：由题意知，解决如下最优化问题，首先写出拉格朗日函数：1(x,y,)=X2+y2+(3-X2-xy-y2)将1对X,丁和4分别求偏导数可得：解得X*=y*=1或者X*=3,y*=:；百，则z(1,1)=2为最小距离，z(若,石)=6为最大距离。6 .绘出有如下特征的曲线z=/(x)1拟凹的，2拟凸的，3既拟凹又拟凸的解：2才以凸1J拟凹(3)既拟凹又拟凸7 .运用海赛加边行列式检脸以下函数的拟凹性

9、和拟凸性：1z=-x2-y2(x,jO)z=-(x+1)2-(y+2)2(x,y0)解：1Z二-2占Zy=-2y,z=zyy=-2zxy=zyx=-2所以，由定理5.7得，该函数为拟凹函数。2zx=-2x-2yzy=-2y-4zxx=zyy=-2,z*,=z)*=O所以，由定理5.7得，该函数为拟凹函数。8 .判断以下命题的正误，并给予说明。1设/(x)是单变量递增函数，则/(x)为拟凹函数。2设/(x)是单变量递减函数，则/(x)为拟凹函数。3设/&)是单变量函数，存在一个实数力使得/(x)在(一8,)区间上递减，在g,+8)区间上递增时，/(x)为拟凹函数。解:1命题正确，对于一元递增函数

10、/定义域凸集中任意点Vu,有/3)/3),则：对任意e,i,有了(1一)+%)/()；则/为拟凹的。2命题错误，对于一元递减函数/定义域凸集中任意点1有/(v)(y),则：对任意80,1,有/(1-8)y+0u)(y)；则/为拟凸的。3命题错误，用反证法证明，假设命题成立，则在区间(-8,刀上与该题2一样,则该函数为拟凸函数，与命题结论矛盾，故命题错误。9 .极大化问题的均衡解为(x*,y*,z*,w*)=试估计以下目标函数的最优值，并说明理由。maxf(x,y,z)=x+y+zmaxf(x,y,z)=x+1.02y+zs,tjc2+y2+z2=3.0522，s.t.x2+y2+z2=3.05

11、maxf(x,y,z)=x+1.02y+zs,t.x2+1.01y2+z2=3.05解：根据(1、2)、3小问中目标函数与约束条件变动项构造拉格朗日函数：(x,y9zia)=x+a1y+z+(a2-x2-a3y2-z2),将(q,%,%)=(1,3,1)代入极大化问题，在约束条件下目标函数的极大值点为(1)，乘子为1。从而有w=(i,1/)，/T=1o22根据包络定理，J-(1,3,1)=q(w*,2)1,则%4Ia=()111.11=V=I=Z=-=-Ay=daa22a321当等式约束改为d+y+Z?=3.05时，目标函数最优值改变分量为：极大化问题的目标函数最优值分别是(1+1+1)+0.

12、025=3.025。2当目标函数改为/(x,y,z)=x+1.02y+z,等式约束改为/+,2+z?=3.05时，目标函数最优值改变分量为：极大化问题的目标函数最优值是(1+1+1)+0.045=3.045。3当目标函数改为/(Ky,2)=1+1.02)，+2,等式约束改为/+1.()2+22=3.05时，目标函数最优值改变分量为：(1,3J)是两种商品的数量，它们的价格分别是P(X)和尸(y)。消费者的预算约束是M,因此消费者的拉格朗日函数是1从一阶条件中找出需求函数的表达式。说明商品y是哪种商品尤其当4历的时候,会出现哪种情况2通过检查二阶充分条件来证明这是一个极大值。把/和y,代入到效用

13、函数中，找出间接效用函数的表达式：U*=U(B，4，M),并推导出支出函数的表达式：E=E(PeP、,U)。MinPrx+Py.s.t.x(y+1)=UE求出这个最小化问题的X和y的解，并证明X和y的解值等于支出函数的偏导数二叱E和国。解：1根据拉格朗日函数得出一阶必要条件为:求解得出其中，/,yw是消费者的马歇尔需求函数。商品y的价格增加，数量减少；货币收入增加，数量增加，因此为正常商品。当aMb寸,0o21xt=1yy=O,=4*=1,加边元素g=一g.r=一g。所以，海赛加边行列式为：因此，由定理5.2最优值为极大值。把XW和yjw代入目标函数中，得出间接效用函数为：支出函数表达式为：e

14、=U(R,4,U)=xPx+yPy=M-2Pv2(UrPxPvy-Pv3构造拉格朗日函数：1(x,y,)=Pxx+Pyy+/.U*-x(y+1)一阶必要条件为求解这个方程组的,y和，得到均衡解为其中x,y是消费者的希克斯需求函数。检脸二阶充分条件：因此均衡解是模型的极小值点。把x,y代入初始目标函数，得到支出函数为由于证毕。11 .给定U=(X+2)(y+1)及=4,Pv=6,M=30,(1)写出该问题的拉格朗日函数；2求出最优消费束；3在最优消费束处满足极大值的二阶充分条件吗4问题2的答案给出对比静态信息了吗解：1=(X+2)(y+1)+4(30-4x-6y)yw=-37M11Z=121x=y+142=02