14正余弦.docx

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1、第十四讲正弦定理和余弦定理【要点梳理】1. 正弦定理： 焉=熹=就7=2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理sin zi sin d sin v可以变形：。： c = sin A : sin 8 : sin C； (2) = 2Rsin A, b = 2Rsm B, c 2Rsin C； (3)sin4=/，sin8=4，sinC=或等形式，以解决不同的三角形问题.2. 余弦定理：标=2+/2ccos A, 22=届+2accos B， c2=a2+方一2abcos C. 余弦定理可以变形:b2+c2a2a2+(rb2c+lrc1cos A=2b(,9 cos B= 2qc ，cos C=

2、 2d3. S.ABC=2an C=；c、in A=%csin力+c(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算七厂.4.在ABC中，已知a、b和4时，解的情况如下:【基础自测】1 . 在ABC 中，若 A=60。，=小，则二 二二+.U=V sin A+sin B+sin C 2 .已知ABC的三边长成公比为啦的等比数列，则其最大角的余弦值为.3 53 .设ABC 的内角 A, B,。的对边分别为。，b, c,且 cosA=, cos b=3,则 c=.4 .在ABC中，8=60。，AC=小，则A8+28C的最大值为.5 .己知圆的半径为4,。、b、。为该圆的内接三角形的三边，若abc=16j,

3、则三角形的面积为()A. 2y/2B. 82C.y/2D.坐【例题讲解】题型一 利用正弦定理解三角形【例1】在A3C中，n=小，=也，8=45。.求角A、。和边c.题型二 利用余弦定理求解三角形【例2】在C中,、仄c分别是角A、B、。的对边，且黑一夫求角8的大小；(2)若=4万，a+c=4,求48C的面积.题型三三角形形状的判定【例3】在ABC中，内角A, B,。所对的边长分别是4, b, c.(1)若c=2, C=1,且ABC的面积为小，求。，的值；(2)若 sin C+sin(B-A) = sin 2A,试判断ABC 的形状.题型四正弦定理、余弦定理的综合应用【例4】已知a, b, c分别

4、为A5C三个内角A, B,。的对边,6(cos C+小osin Cbc=O.求A；(2)若a=2, ABC的面积为小，求乩c.【巩固提图】1 .在aABC 中，若NA=60。，ZB=45, BC=3 则 AC 等于 ()A.4#B.2小C.小D坐2 .在48C中，角4, B, 2所对的边分别为m b, c.若acos A=sin - 则sin Acos A+cos?B 等于()A. tB.zC. 1D. 13 .在/MBC中，a, /力c分别为角4 B, C所对的ii,若aW/xosC,贝1g角形一定是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形4 .在A8C 中，若 b=5, NB=w，sin A=q,则 a=.5 .若ABC的面积为5，BC=2, C=60,则边A3的长度等于.6 .在A6C中，角A, B,。所对的边分别为小b, c,满足cos芈，AB AC=3.(1)求AA6c的面积；(2)若b+c=6,求a的值.