相似三角形的性质及判定知识点总结经典题型总结.docx

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1、国加住中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题且M住知识点睛一、相似的有关概念1 .相似形具有一样形状的图形叫做相似形.相似形仅是形状一样，大小不一定一样.相似图形之间的互相变换称为相似变换.2 .相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等.3 .相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例.二、相似三角形的概念1 .相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图，ZXABC与aABC相似，记作aABCABC,符号S读作“相似于.2 .相似比“全

2、等三相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形的相似比是角形一定是“相似形，“相似形不一定是“全等形.三、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等如图，ABC与AABC相似，那么有AA,BB.CC.2.相似三角形的对应边成比例.,rt.1r7,ABBCACABC与ABC相似，那Z有a1ABBCACBCk（k为相似比）.3.相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例,似比.如图1,ABC与ABC相似,BC边上的中线，那么有jABAM是AABC中BC边上的中线，AM-BC-AC-：k-AMIk为相似比）BCACAMA都等于相是aABC中a,图1是ABC中如图2,ABC-ABC相似,BC

3、边上的高线，那么有四ABAH是ABC中BC边上的高线，AH史丝k”：（k为相似比）.BCACAH如图3,ABC-ABC相似,bzK.zK图2AD是AABC中BAC的角平分线，ADABCA中BAC的角平分线，那么有ABBCA(-B-O4.相似三角形周长的比等于相似比.如图4,4ABC与aABC相似，那么有ABAB-比例的等比性质有abbcacabBC：kAU5为相似比.Aa,4z图3BCACk（k为相似比）.应用CjTf1rCj-ACk.5.相似三角形面积的比等于相似比的平方.A八图4如图5,ABC与ABC相似，BC边上的高线，那么有ABPBSABC；bcahBCAHC1abcBCAHBCAH2

4、AH是ABC中BC边上的高线，AH是AABC中BCACkAH（k为相似比）,进而可得BCACz八H2AAZ四、相似三角形的判定1 .平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.2 .如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似.3 .如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等,那么这两个三角形相似.4 .如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似.5 .如果一个直角三角形的斜边和一条直

5、角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.6 .直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7 .如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似.五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法.1 .横向定型法欲证吧,横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC,三个字BEBF母A,B.C恰为aABC的顶点；分母的两条线段是BE和BF,三个字母b,E,F恰为ABEF的三个顶点.因此只需证AA

6、BCEBF.2 .纵向定型法欲证理上；，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A,B,C恰BCEF为AABC的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D,E,F恰为DEF的三个顶点.因此只需证ABCsDEF.3 .中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有一样点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进展变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形.这种方法就是等量代换法.在证明比例式时，常用到中间比.比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解.倒数式的证明，往往需要先进展变形，将等式的一边

7、化为1,另一边化为几个比值和的形式，然后比照值进展等量代换，进而证明之.复合式的证明比拟复杂.通常需要进展等线代换（对线段进展等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为根本的比例式或等积式，然后进展证明.六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论.常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等.如图：AD平分BAC交BC于D,求证：B1建，DCAC证法一：过C作CEAD,交BA的延长线于E.1 E,23.*.*12,.*.3E./.ACAE.AcC1BDBABAADCE,DCBEAC点评：做平行

8、线构造成比例线段，利用了“A型图的根本模型.证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E.1 2E,I.ABBE.RDVBE/AC,BS-B.DCACAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X型图的根本模型.D七、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进展相互解决问题.常用的面积法根本模型如下：BCAH如图：令皿-2庭.ACD7QDAHCD2如图：SABC=BCAHahAO.Sbcd_1BCDGDGOD2如图：SABDSACES/.ABDS/.AEDSAEDSACEABADAEACABAD.AEAC八、相似证明中的根本模型图3：“燕尾”型A且M住例题精讲一、与三角形有关的相似

9、问题【例1】如图，在AABC中，ACAB,点D在AC边上，假设在增加一个条件就能使ABCACB,那么这个条件可以是.【稳固】如图，D、E是ABC的边AC、AB上的点，且ADACAEAB,求证：ADEB.【稳固】如图，在的4倍,ABC中，ADBC于D,CEAB于E,AC6,求DE的长.ABC的面积是BDE面积【例2】如图，ZABC中，ABC60,点P是aABC内一点，使得APBBPCCPA,PA8,PC6,那么PB【稳固】如图，三个边长相等的正方形相邻并排，求AEBF【例3】如图，ABC中，AE:EB1:3,BC:CD2:1,AD与CE相交于F,那么竺_里的FCFD值为（）Ab.1C.2【稳固】

10、在ABC中BDCE,DE的延长线交BC的延长线于P,求证：ADBPAECP.【稳固】如图，MN为aABC边BC上的两点，且满足BMMNNC,一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.求证：EF3DE.【例4】如图，AB/EF/CD,假设ABa,CDb,EFc,求证：Jvi工cab【稳固】如图，ABBD,CDBD,垂足分别为B、D,AC和BD相交于点E,EFBD,垂足为F.证明：11.ABCDEF【稳固】如图，AB/EF/CD,找出Sabd、SbedSBCD之间的关系，并证明你的结论.【例5】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,直线I平行于BD,且与AB、DC

11、BCAD及AC的延长线分别相交于点M、N、RS和P.求证：PMPNPRPS【稳固】，如图，四边形ABCD,两组对边延长后交于E、F,对角线BDEF,AC的延长线交EF于G.求证：EGGF.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】5星【题型】解答【关键词】E1GF【例6】如图，ABC中，BCa,假设Di,Ei分别是AB,假设D2、E2分别是DB、E1C的中点,那么；假设D3、E3分别是DzB、E2C的中点，那么；假设DnsEn分别是DmB.EmC的中点，那么DnEn【例7】如图，4ABC内有一点P,过P作各边的平行线,和三个平行四边形.假设三个三角形的面积ABC的面积是.AC的中点,那么D1E1m

12、a;2把AABC分成三个三角形S-S2,S3分别为1.1.2,那么【例8】如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p2,q2,那么梯形的面积是（A. 2P2q2C.p2q2pqB. pqD.【稳固】如图，梯形SAOD:SCOBABCD中，AD/BC,两条对角线.ACBD相交于假设那么SBocSdocy二、与平行四边形有关的相似问题【例9】如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与ACAD及CD的延长线相交于点E、F、G,假设BE5,EF2,那么FG的长是【稳固】如图，DE/AB,OA2OCOE,求证：ADBC.【例10如图,OABCD的对角线相交于点O,在AB的延

13、长线上任取一点E,连接OE交BC于点F,假设ABa,ADc,BEb,求BF的值.【稳固】如图：矩形ABCD的面积是36,在AB,AD边上分别取点E.F,使得AE3EB,DF2AF,且DE与CF的交点为点0,求FOD的面积。三、与梯形有关的相似问题【例11:如图，在梯形ABCD中，AB/CD,M是AB的中点，分别连接AC、BD、MDMC,且AC与MD交于点E,DB与MC交于F.(1)求证：EF/CD(2)假设ABa,CDb,求EF的长.【稳固】如图，在梯形ABCD中，ADBC,ADa,BCb,E,F分别是AD,BC的中点，AF交BE于P,CE交DF于Q,求PQ的长.【例12如图，梯形ABCD中，

14、AD/BC,A90,ABa,ADb,BC2b(ab),DEDC,DE交AB于点E,连接EC.(1)判断DCE与ADE,DCE与BCE是否分别一定相似，假设相似，请加以证明.(2)如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似四、与内接矩形有关的相似问题【例13】ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC15,BC边上的高AD10,求S比FGH.【稳固】如图，ABC中，AC3,BC4,C90,四边形DEGF为正方形，其中D,E在边AC,BC,F,G在AB上，求正方形的边长.【例14如图，ABC中，四边形DEGF为正方形，D,E在线段AC,BC上，F,G在AB上，如果SADFSCDE1,SBEG3,求ABC的面积.【稳固】如