第07讲 极值点偏移：商型（解析版）.docx

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1、第07讲极值点偏移:商型叁考答案与试题解析一.解答题(共7小题)1.已知函数/(x)=x-e(aO)有两个相异零点内、x2,且M。，得Xa1na,由f,(x)a1na，/.fx)在(-ya1na)上单调递增，在(Hw,*c)上单调递减，./*)在X=H处取得极大值，且为最大值等于f(a1na)=a1na-a.由函数/(x)=x-e(a0)有两个相异零点不、X2,可得H一aO,即e./()=a-eO，:.xxaa1na.e.X,-x1a1na-a=-a1n,ae即-x2a1n-,a1 P则一(X_/)勿一，aa1 丝x1=ea,x2=ea,xea1X1-X2)1n-e:.=y-ea(X与)为函数

2、/(%)的两个极值点，求y=至-/匕的最大值.3x1+2x2【解答】解：(1)当a=时，f(x)=1nx-x+-x2x0222“/、/5。一)。-2)令/(X)O,可得02,令/(x)v,可得gxw)为函数f()的两个极值点，所以王，马是方程/一以+=o的两个根，匚匚Ira+d4所以X:-5a-yJa2-4.得x1_a+a2-4_a2-2+aa2-42x2a-ya2-42因为.g5,所以y=为增函数，=。为增函数且大()，y=Ja=4为熔闸数目.大0,所以y=-2+J42-4为增函数,所以&=己+j片4111=32X222令r=(f.3),则)，=2(芭W)_土=也二D_Ifu,X2x+x2/

3、，+1令gQ)=-Int=2-Int，/+1/+1g,(t)=7-z1O,所以g(f)在3,+00)上单调递减，(z+1)2tt(t+1)-所以g(r)的最大值为g(3)=11r.3. (2023春湖北期末)已知函数“)=叱、+几r-13R).(1)当%e时，讨论函数/(%)的单调性：(2)若函数/(x)恰有两个极值点芭，x2(x1O恒成仁/()在(O,-hx)上单调递增,当0O,g(x)单调递增,.g(x)f1()=e,na-a1na-a(-Ina)O,A,(x).0,/(X)在(0,+)上单调递增,综上，当q,e时，/(x)在(0,+00)上单调递增.依题意小)=小)皿则仁一二。两式相除得

4、，*F=X,设三=f,则1,x2=tx1，di)=tInttint(t+)1nt.,.X+x,=t-设W)=型41),/-1t2nt则功)=J7I)?设(t)=t-21nt,则t)=1+-y-=V，)，所以(t)在(1,go)单调递增，则(t)(1)=O.h,(t)O,则h(t)在(1,-o)单调递增，,C1c,r口，C、(2+1)In1e1x+x2,y2e21n2eI1h(2e)=IeIe.ht,h(2e),.J(1,20,即石的最大值为2e.4. (2023宁德三模)已知函数f(x)=1+加1(R).(I)当,e时，讨论函数/(x)的单调性：(2)若函数/(x)恰有两个极值点E,x2(a1

5、且芭+,23,求上的最大值.1【F答】解：(1)函数的定义域为(0,+oo),f()=-ae-+-=-Xxe当4,0时,Fa)o恒成立，力在(0,hx)上单调递埔当04,e时，令f(x)=0,则e-0r=0,设g(x)=e-r,则gx)=e-,g(x)单调递增,易知，当OVXV时，g(x)加时，gO,.g(x)匾曲Ia)=e,a-a1na-a(-Ina)O,(x).0,/(在(O,+)上单调递增;综上，当/e时，F(X)在。+oo)上单调递增；(enr=O依题意，/,(1)=(J=0,则X,1八e:-0x2=O两式相除得，=旦,设五=f，则E1,芭丹Inttint-X=,x?=r-1t-(t+

6、1)1ntXX)=，r-1f21m设力)=+ii),则/=I2，r-ia-i)I1O(,一)20,设(t)=1-一-21nt(tI),则,(t)=1+万一一=-P-.Mf)在(1,4)单调递增,则以f)Q(1)=0,.0,则Q)在(1,”)单调递增,又百十x2,2加3,即力(，),，2加3,h(3)=2n3，.re(1,3,即三的最大值为3.5. (2023新乡三模)已知函数/(x)=x.(1)求函数g(x)=2()的单调区间;(2)证明：Vx1,x21,+oo),/(x1x2),(x1+x2)(1).X1X2【解答】解：(1)Kf(X)=InX,g(x)=X2f(x)=x21nx,a(0,+

7、oo),(x)=x(2zr1),令gx)v,解得Ovx令gO,解得x.函数8。)的单调递减区间(0,4),单调递增区间为(4，+oo).-Je-Je(2)证明：x1,x21+),要证明/(芭W)”(x1+毛)。)%x2即证明：/叫+InX2，,x1+x2.X%即证明：bx1-xi+-+Inx2-x2+0XIX2令力(X)=nr-x+-,x1+oo),h(I)=0.X/,/、1.1-(X2-X+1)fx)=1一一-=.A(1)+(x2),O,即：Vx1,x21,+)/(x1x,)(x1+X.,)(1)成立.X/26.(2023春海曙区校级期中)已知函数/(x)=1-x+H心.X(1)讨论f(x)

8、的单调性；(2)已知若f(x)存在两个极值点%,为，且不2,令人(X)=0,解得：-40,x1=a+a0,22nJ”？4故(0,)时，h(x)0,即f,(x)0,V)0,X(4+；-，+00)时()0,f,x)0,故F(X)在(0,竺咚三)递减,在(巴二孚三+r1)递增,在(纪至三，位)递减,22-2时，令心)=0,解得：X=菩二0,“当三。,故Xe(O,+oo)时，(x)0,BPff()O,即f(x)的单调增区间为(yo,kx),当O时，令/)=】一/=0,WJX=-Ina,当x(-Q0,TmZ)时，f,(x)Of(x)单调递增，当x(-4,+)时，/(x),a0,f(x)的单调递增区间为(

9、F,TW),单调递减区间为(Tw,+8).(2)f(x)=x-aex,.fx)=-aex,下面分两种情况讨论：0时，T(x)O在R上恒成立，.J(X)在R上是增函数，不合题意，。0时，由T(X)=O,得X=Tna,当X变化时，f,(x)./(力的变化情况如下表：X(-1nd)-Ina(-1na,+oo)f,M+Of递增极大值-Ina1递减.(x)的单调增区间是(F,-/)，减区间是(TW,*0),.函数y=()有两个零点等价于如卜条件同时成立：f(-1na)O,存在SJ(F,TM,满足/(S1)0,存在s2(-1na,+oo仔满足f(s2)O,BP-Ina-1O，解得Ocave”,取4=O,满足S1e(-00,-7。)，且f(si)=-aO222-2-取与=一十加一，满足与e(一移,+)，且f(s2)=(ea)+(Ine)O,.的取值范围是(0,/).(Zi)证明：,f(x)=x-aex,xU=，设g(x)=、，求导可得g(x)=3,e:.g(x)在(YO,1)上单调递增，在(1,4O,由已知X，W满足=g(),a=g(x2),(0,-)及g(x)的单调性，e.x1e(O,1),x2(1,+oo)对于任意4，%(。,一)，设402,g(町)=g(“)=4,其中0仍V1a2即g(/i)g(i),同理可得叫2vn2,nnyO?rnxW1故三随着的减小而增大.即得证.