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1、第十七讲平面向量基本定理及坐标表示【要点梳理】1 .平面向量基本定理如果e,e?是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量m有且只有一对实数为,2,使。=九%+2262.其中,不共线的向量也,e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2 .平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设Q=(X1,J1),)=(X2,”),则。+方=(刁+口,丫1+丫2),ab=(xx,yv2)a=()jiAv),IaI=xi+M(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.设A(XI,1),8(X2,2),则AB=(X2Xi,r一),!),A3=2(也一x
2、)2+(),2y)2.3 .平面向量共线的坐标表示设O=(X1,J1),b=(X2,”),其中方O.4Zb0X由一X20=O.【基础自测】1 .在平行四边形ABC。中,E和尸分别是边CQ和BC的中点,若危=施+心方,其中九R,则2+=.2 .在。ABCO中,Ae为一条对角线,AB=(2,4),Ab=(1,3),则向量曲的坐标为3 .已知向量a=(1,2),方=(-3,2),若履+力与方平行,则Z=.4 .若向量。=(1,1),Z=(-1,1),c=(4,2),则C等于()A.3o+bB.3abC.a-3bD.+3b5 .已知向量=(1,2),b=(1,O),c=(3,4).若;I为实数,3+劝
3、)c,则2等于()A.B.C.1D.2例题讲解题型一平面向量基本定理的应用m11已知点G为的重心,过G作直线与A8、AC两边分别交于W、N两点,,AM=xABfAN=yAC,求,+1的值.Xy题型二向量坐标的基本运算【例21已知A(-2,4),8(3,-1),C(一3,-4).设而=4,BC=b,CA=c,且由=3c,CN=-2b,求3a+b3d(2)求满足a=mb-nc的实数m,;(3)求M、N的坐标及向量疏勺坐标.练习:已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2),B(5,7),C(3,4),则第四个顶点D的坐标是.题型三共线向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量=(3,2),5=(-1,
4、2),c=(4,1),请解答下列问题:求满足a=mb+nc的实数m,(2)若(a+Ac)(2b),求实数k;(3)若d满足(dc)(a+8),且|dc|=#,求d.【巩固提高】1.与向量=(12,5)平行的单位向量为()AjSB.T,-)3 c(i3Mii,)DG)4 .已知=(1,1),b=(t-1),c=(-1,2),则C等于()13133131A.一呼+于B,2-C.-2f1-D一律+于5 .在445C中,点尸在BC上,且加=2无,点。是AC的中点,若谡=(4,3),PQ=(1,5),则戌?等于()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,一21)5.已知向量。=(1,2)=。,1),=。+240=加一力,且小则实数式的值为.16 .在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足。b=+gh,则因QAB7 .已知=(1,2),b=(T,2),是否存在实数上使得履+b与。-3力共线,且方向相反?