等式性质不等式性质与基本不等式复习课公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、等式性质、不等式性质与基本不等式复习课（教学设计）一、内容和内容解析1 .内容不等关系与不等式，两个实数大小关系的基本事实，等式性质与不等式的性质，基本不等式及其应用。2 .内容解析相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础;等式的性质是研究方程问题的基础，不等式的性质是研究不等式问题的基础;关于实数大小关系的基本事实是研究等式的性质、不等式的性质的基础。两个实数大小关系的基本事实是由实数系的有序性所决定的，是研究等式性质和不等式性质的逻辑基础。根据基本事实，我们把两个实数的大小比较转化为判断它们的差的符号，这是解决代数问题的最基本方法，其中蕴含着代数学的一般观念，即

2、通过代数运算解决代数问题。等式性质可分为相等关系自身的特性和相等关系在“运算中的不变性”两类，前者包括等式的“自反性”和“传递性”，这是整个代数推理的逻辑基础所在，后者包括等式在四则运算中的不变性，其中最基本的是相等关系在加法、乘法运算中的不变性。不等式的基本性质与等式的基本性质具有“同构性”，蕴含着相同的数学思想方法，也包括不等关系自身的特性和不等关系在“运算中的不变性”两类。不等关系也有“自反性”和“传递性”，前者是不相等的两个实数大小关系的两种等价表达形式，后者反映了三个不相等实数的大小关系的内在联系，它们是由实数的有序性所决定的。不等关系在各种代数运算中具有不变性、规律性，由于“正数乘

3、正数大于0”“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算不具有“保序性”，这也是不等式性质与等式的性质的主要差异。不等式的基本性质与等式的基本性质都是“式的性质”，具有相似性，所以可类比等式基本性质中蕴含的数学思想来研究不等式的基本性质。不等式的性质具有层次结构性:不等关系自身的特性一基本性质一常用性质。其中,不等关系自身的特性也是整个代数推理的逻辑基础，由此可以推出基本性质，进一步地又可以通过不同的运算、变式、推广或特殊化推出一些常用性质，常用性质在解决具体问题时往往更好用。实数大小关系的基本事实和不等式的性质都是解决不等式问题的基本依据。基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简

4、单的情形，可以推广至n个正数的几何平均值不大于算术平均值.基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值.同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法。因此，基本不等式内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.3 .教学重点实数大小关系的基本事实的理解和运用，梳理等式基本性质中蕴含的思想方法，探究不等式的基本性质，用基本不等式解决简单的最值问题。二、目标和目标解析4 .目标梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质，结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展学生运算和数学

5、建模素养。5 .目标解析达成上述目标的标志是：(1)能发现实际问题情境中蕴含的不等关系,并用不等式表达。(2)能归纳出基本事实中蕴含的数学思想(通过运算解决代数问题)，并能用于比较大小、证明不等式的基本性质，体会基本事实中蕴含的“作差法”是比较大小的基本方法。(3)能利用不等式的性质证明简单的不等式。(4)能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和解决实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养。三、教学问题诊断分析1 .问题诊断不等式性质的探究是以实数大小关

6、系的基本事实为依据，以“运算中的不变性就是性质”为指导，通过类比等式的基本性质而展开的。学生在初中通过特殊到一般的方式学过等式、不等式的某些性质，但没有进行严格的证明，也没有挖掘性质中蕴含的数学思想。高中阶段要通过逻辑推理，构建等式、不等式性质的完整体系，学生在学习过程中会出现以下几方面的问题。(1)意识不到实数大小关系的基本事实的重要性。事实上，本单元内容是以公理化方式组织的,基本事实是逻辑起点,其中蕴含着“通过运算研究代数问题”的深刻思想。由于学生的认知水平所限,他们对此没有多少“感觉”,往往只停留在机械运用基本事实层面。教学中，教师要加强引导和讲解，让学生体会到基本事实所蕴含的数学思想,

7、认识运算在解决大小比较中的关键作用,逐步养成通过运算发现和解决代数问题的思维习惯。(2)学生不知道该从哪些角度梳理等式的基本性质。在学生思考和解决数学问题时，“自反性”和“传递性”在无意识状态下使用,但他们不明白这是性质，虽然熟知等式的性质3-5,但他们对性质中蕴含的数学思想方法缺乏上位思考。(3)在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求最值等问题，这也是学生思维不够严谨的表现。2 .教学难点理解实数大小关系的基本事实中蕴含的数学思想，梳理等式基本性质中蕴含的思想方法,基本不等式的证明和基本不等式求最值。四、教学支持条件分析

8、根据教学的需要，需要复习重现知识内容，最好借助课件展示更为直观,因此课堂教学需要电脑、投影仪等条件的支持。五、教学过程设计(一)不等式的性质导入语：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系,反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不相等用不等式(组)表示。,I,不等式的性质不等关系;不等式=基本不等式1 .不等式的性质对称性：abobb,%c=；(3)可加性：ahach+c；推论(同向可加性)：j=4+cb+d;ca)Ztjb1(4)可乘性：=acbc;(=acOJcb0推论(同向同正可乘性)：.c0J(5)正数乘方性：0b0=wb(N*,w1):2 .比较两个实数,6大

9、小的依据文字语言符号表示如果那么Q一方是正数；如果pa匕O,cab师生活动：教师引导学生分析所证不等式不等式的特点，明确证明思路。由学生独立完成证明，教师进行点评。设计意图：本题利用不等式基本性质，体现“分析法”的证明思路和“综合法”的表达方式，提高学生分析解决问题的能力，提升学生的数学应用意识。例2.已知三个正麴也C满足功十三24,后4+三3,求2的取值范围a师生活动：引导学生观察分析，能否在给出的两个不等式中变出2的整体？a设计意图：多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体等量关系，再通过“一次性”不等式关系的运算求解范So(二)基

10、本不等式1 .重要不等式：一般的，对于任意实数a,b,我们有+/Iab,当且仅当。=匕时，等号成立。2 .基本不等式：如果。0,匕0,我们用&、4b分别代替力,可得+b2J拓，通常我们把上式写作：基本不等式”(a0,Z70)(当且仅当。二8时，取等2号)在数学中，我们称皇为&、。的算术平均数，称而为a、6的几何平均.数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。例3.已知实数x,y都是正数，求证：(1)如果D等于定值尸，那么当=y时，+y有最小值2.S2(2)如果x+y等于定值S,那么当x=y时，孙有最大值丁.师生活动：师生一起分析后，由学生思考并

11、书写证明过程后展示，师生共同补充完善。追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”的问题，能够用基本不等式解决.设计意图:利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解决问题，同时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件。例4.已矢Ur1,求X+的最小值(2)求Jx(9-2x)的最大值师生活动：前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题,本例的两个问题属于那两类问

12、题吗？学生思考回答。设计意图:本例是典型而较简单的能够用基本不等式求解的问题。通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别实际问题，从而用基本不等式解决问题，进一步发展学生的模型思想.例5.已知x、yR,且2x+y=3,求一!+的最小值.2x+1y+2师生活动：学生先思考，教师提出问题：(1)求分式的和的最小值，如果对分式通分后有什么发现？(2)如果对已知等式变成2x+1+y+2=6,对你有没有启发？设计意图：本题的背景更加复杂，需要引导学生转化问题，再用基本不等式模型求解,本例在例4的基础上，进一步培养学生用数学的眼光看问题的能力，提升他们的转化化归思想。(三)课堂小结本节课我们复习了不等式性质和基本不等式的内容，你收获到了哪些经验？教师引导学生回顾本单元的内容。,I比较两个数的大小/_不等式的性质匕I作商法证明不等式II利用基本不等式求量值的三个条件基本不等式一用基本不等式求最值的依据设计意图：引导学生回顾总结本单元的学习内容和学习方法，在小结中，要注意引导学生体会一个特殊代数对象的一般过程。（四）作业检测已知2x4,-3y0,x+2y=5,则支等空土口的最小值为【设计意图】考查学生对本章所学内容的掌握情况.