专题6 幂函数与周期函数原卷版公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、专题6幕函数与周期函数知识点一幕函数的概念与性质一般地，函数y=叫做幕函数，其中X是自变量，。是常数.1.在同一平面直角坐标系内函数y=x;(2)y=2.(3)y=;(4)y=x%(5)y=V的图象如图.y=X2y=X3y=X1y=XE-1y=X定义域RRR0,+)xx0值域R0,+)R0,+)yyO)奇偶性a偶S非奇非偶奇单调性增在0,+)增，在(一8,0上减增增在(0,+oo)减，在(一8,0)上减辱函数的共同性质总结： .所有的幕函数在(0,+8)上都有定义，并且图象都过点(Ij). .当。0时，塞函数的图象通过原点，并且在区间M+8)上单调递增.特别地，当1时，塞函数的图象下凸；当(K

2、q1),它同各鬲函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幕指数按从小到大的顺序排列.例题精选【例1】(2023新高考)写出一个同时具有下列性质的函数/(x):/(X1X2)=Z(X1W2):当xe。”)时，,(x)0;/(力是奇函数.【例2】己知-2,-1,-i,i,1,2,3,若第函数f(x)=X支为奇函数,且在(0,+8)上递减,则=【例3】(2023-大连期末)已知耗函数y=”与y=”的部分图象如图所示,直线=m2fx=Tn(Om则,b,c的大小关系是()B.abcD.bcaA.acbC.cab试题精选1. 已知Q=25fb=4,c=25；则()B.abcD.cabK.bacC.bcbcdB

3、.dbcaC.dcbaD.bcda题型二对称函数与周期函数一、函数对称性定理1：若函数y=f(x)关于直线=。对称,则“。+%)=/(。一%).推论1关系式f(Q+x)=f(a-%)也可以写成f(%)=f(2a-%)或*(-%)=f(2a+x).若写成f(+x)=f(b-%),则函数y=外均关于直线=3+幻；Sr)=等对称.证明设点在y=/(x),由/(%)=/(2Q-X)可知,%=/(x1)=f(2a-x1)t即点(2。一修,%)也在函数丫=/(x),而点(%,y)与点(2q%,%)关于=Q对称,即得证.定理2：若函数y=f(%)关于点(,b)对称,!J(+%)+fa-)=2b.推论2关系式

4、f(Q+%)+/(-x)=2b也可以写成f(2q+x)+/(-x)=2b或/(2x)+fM=2b.证明设点在y=/(x),即%=/(x1),通过f(2q-X)+/(x)=2b可知,f(2q-x1)+*(x1)=2b,所以f(2q-x1)=2b-/(x1)=2b-y1,所以点(2a-X1,2b-%)也在y=/(x),而点(2a-%,2b-力)与(X1,%)关于(,b)对称,即得证.定理3：函数y=/(+幻与y=/(-%)关于y轴对称,函数y=f(a+%)与y=-/(-x)关于原点对称.证明因为函数y=f(a+外由函数y=/(外向左平移Q个单位得到,则函数y=fa-x)=/一(-。)由函数,=/(

5、-%)向右平移Q个单位得到，又因为函数y=/(x)与函数y=f(-%)关于y轴对称，故y=f(a+%)与y=/(-%)关于y轴对称,同理可证y=/(+%)与y=-f(-幻关于原点对称,注意自对称和互对称.例题精选【例5】(2023日照期末)(多选)关于函数f(%)=1og2x+Iog2(4-X),下列说法正确的是OA.f(%)最大值为2B.f(x)在区间(0,4)上为增函数C.f(%)图象关于X=2对称D.f(x)的图象关于点(2,0)对称【例6】(2023山山东月考)设XJ为实数,且满足嫄二温胃器I；二，则+y=例7同一平面直角坐标系中，函数y=2+与y=21-X的图象().关于原点对称B.

6、关于%轴对称C.关于y轴对称D.关于直线y=X对称【例8】(2023新高考1卷改编)(多选)己知函数f(x)及g(%)的定义域均为R,若-2x)为偶函数,g(2+%)为偶函数,且g(x)=-g(3-x),则()A./(0)=0B.(-)=0Cf(-1)=-4)D.g(-1)=g二、函数对称性和迭代构造周期函数定理1：若函数y=/(%)的图象关于直线=,x=b都对称,则/(%)为周期函数且2仍-是它的一个周期.证明函数y=/(%)满足/(x)=f(-)且/(8+%)=f(b-y)t则可推出f(%)=/(2Q-x)=f(2b-%);故f(2q+x)=f(2b+%)=/(x)=f(2b-2a+x),

7、即可以得到y=f(%)的周期为2b-a.推论若偶函数y=f(X)的图象关于直线=Q对称,则y=/Q)为周期函数,且2q是它的一个周期.定理2：函数y=f(%)(xR)的图象关于两点43,%)、8(4尤)都对称,则函数歹=/(%)是以2b-为周期的周期函数.证明函数y=/(%)满足f(q+x)=2y0-/(-%)且f(b+x)=2y0-f(b-%),则/(#)=2y0-/(2T)=2y0-f(2b-x);所以f(2q+x)=f(2b+%)u/(x)=f(2b-2a+x),即可以得到y=f(x)的周期为2b.推论若奇函数y=/(%)的图象关于A(,O)对称,则y=f(%)为周期函数,且2是它的一个

8、周期.定理3：函数y=/(x)(xR)的图象关于4(,y0)和直线X=b都对称,则函数y=/(%)是以4b-Q为周期的周期函数.证明函数y=/(%)满足f(Q+%)=2y0-/(-%)且f(b+x)=f(b-x),则f(%)=2y0-f(2a-x)=f(2b-X);,所以f(2b+x)=2y0-f(2a+%)=/(x)=2y0f(2b-2a+x)t所以f(%)=2y0-f(2b-2+x)=2y0f(4b4+x)-2y0=f(4b-4a+x),即可以得到y=/(%)的周期为4b-a.推论1若奇函数y=/(%)的图象关于直线=Q对称,则y=/(x)为周期函数,且引是它的一个周期.推论2周期为T的奇

9、函数一定关于点,0)对称,周期为7的偶函数关于直线=T对称.定理4：(1)若函数y=/(%)满足/O+m)=-f(x),则T=2m.(2)若函数y=fQ)满足/(x+m)=六,则T=2m.J)(3)若函数y=f(x)满足f(x+m)=5倦,则T=2m.证明(Dy=/(%)满足f(x+n)=-/(x),则f(%+2n)=fx+n+n)=-f(x+n)=/(x),即T=2n;(2)y=/(x)满足Fa+m)=卷,贝Jf(x+2m)=f(x+m+?n)=土.汕=W即T=2m;H1-(x)(3)y=f(%)满足f(%+m)=篝普,WJ(x+2m)=/(X),即7=2m.】+小间】+嗡综合(1)(2)(

10、3),我们得到定理4:当一个函数f(%+m)=(x)=QTa)时,一定有/(x+2n)=/(x),f(X)是周期为2m的周期函数.定理：5若函数y=/(%)满足/(%)=f(x+)+f(x-a),则函数/(%)是以6为周期的周期函数.证明由函数f(%)=/(x+)+f(x-Q)=fx+)=fx+2d)+/(x)=/(x)=f(x+2a)+/(%)+f(x-a),则0-f(x+2a)+f(x-a),所以f(x-a)=-f(x+2a)=f(x)=-/(x+3a)=f(x+3a+3a)=f(x+6a),则f(%)是以6a为周期的周期函数.定理6：若函数y=/(%)满足/a+M=1-六(f(%)0),

11、则函数/(x)是以3n为周期的J)周期函数.证明由函数y=/(x)满足/a+n)=1-六(f(%)0),得f(x+3n)=1-0=I-=会启=f(4则函数f(%)是以3m为周期的周期函数.定理7：若函数y=(x)满足/(%+n)=三倦,则函数f(x)是以4n为周期的周期函数.证111+(x)明由f(%+2m)=S又f(x+4m)=-7(=f，则T=4i-f(x)例题精选【例9】(2023-甲卷)设f(%)是定义域为R的奇函数,且f(1x)=f().若f(一=p则花)=()a*b4cIdI【例10(2023-甲卷)设函数/(%)的定义域为Rj(X+1)为奇函数,/(%+2)为偶函数，当X1,2时

12、,f(%)=ax2+b.若f(0)+/(3)=6,则f6)=()A.-B,-C,-D.-4242【例11】已知f(%)是定义域为(-8,+00)的奇函数,满足f(1-x)=/(1+%),若f=2,则f(D+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50【例12】设f(%),g(%)是定义在R上的两个周期函数,f(%)的周期为4,g(%)的周期为2,且(k(x+2),0X1,/(%)是奇函数.当(0,2时(%)=1-(x-I)2,g(x)=Kx0.若在区间(0,9上,关于的方程f(%)=g(%)有8个不同的实数根,则k的取值范围是【例13】(2023日照期末)己知y=/(%+

13、2)是定义域为R的奇函数,y=g(X-I)是定义域为R的偶函数,且y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称,则()A.y=f(%)是奇函数B.y=g(%)是偶函数C.2是y=/(%)一个周期D.y=g(%)关于直线=2对称【例14已知定义在R上的函数y=f(%)对于任意的无都满足/(%+2)=/(%).当-1x1时,/(幻=X3.若函数g(x)=f(x)-IOga1X1至少有6个零点,则a的取值范围是【例15】若对任意的R,都有/(幻=(x-i)+(%+i),且f(0)=-1,Q)=1,则/(等)的值为【例16】定义在R上的奇函数/(%)满足f(2-幻=/(x),且在0,1)上单调递减,若方程fM=-1在0,1)上有实数根,则方程f(x)=1在区间-1,11上所有实根之和是()A.30B.14C.12D.6【例17】设奇函数f(%)的定义域为R,且/O+4)=/(x),当(4,6时Ja)=2x+1,则f(x)在区间-2,0上的表达式为().fM=2x+1B./(x)=-2-a4-1C.fM=2-+4+1D.