圆锥曲线中最值问题.docx

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1、圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质1(文)已知F是椭圆常+%=1的i个焦点，AB为过其中心的一条弦，则4ABF的面积最大值为()A.6B.15C.20D.12答案D解析S=2Cy1-y22)F2b=12.2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为()A.1B.2C.2D.22解析：设椭I噬42=1(abO),则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆1b2+c2a2短轴端点，S=22cb=bc=12=2.a22.a2.，长轴长2a22,故选D.3、(文)(2011山东省临沂市质检)设P是椭圆瑛+(=1上一点，M、N分别是两圆：(x+4)2+

2、y2=1和(-4)2+y2=1上的点，则IPM1+PN1的最小值、最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且PF+PF2=10,(PM+PN)min=10-2=8,(PM+PN)max=10+2=12,故选C点评：Y圆外一点P到圆上所有点中距离的最大值为PC+r,最小值为PC-r,其中C为圆心，r为半径，故只要连接椭圆上的点P与两圆心M、N,直线PM.PN与两圆各交于两点处取得最值，最大值为IPM1+PN+两圆半径和，最小值为IPM1+IPN1一两圆半径和.4、(2010福州市质检)已知P为抛物线y2=4x上一个动点

3、，Q为圆2+(y4)2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A.5B.8c/77-1D+2答案C解析抛物线y=4x的焦点为F(1,0),圆X2(y-4)2=1的圆心为C(0,4),设点P到抛物线的准线距离为d,根据抛物线的定义有d=PF,PQ+d=PQ+PF(PC-1)+PFCF-1=17-1.5、已知点F是双曲线才=1的左焦点，定点A的坐标为(1,4),P是双曲线右支上的动点，则PF+PA的最小值为.解析如图所示，根据双曲线定义IPFI-IPF|=4,即PF-4=PF|.又PA+PF|冽AF|=5,将IPFI-4=PF,|代入,得PA+PF-425,即

4、PA+PF29,等号当且仅当A,P,F,三点共线,即P为图中的点PO时成立，故PF+PA的最小值为9.故填9.答案96、已知直线I；4x-3y+6=0和直线!：x=-1.抛物线y2=4x上一动点P到直线1和直线|,的距离之和的最小值1137A.2B.3C,-D5IO【解析1】直线I2：x=-1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到0的距离等于P到抛物线的焦点尸(1，)的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点尸(1,0)和直线I的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直24-0+6线1:4x3y+6=O的距离，即d=-2,故选择A,1min5|3x1-0+6I【解析2】

5、如图，由题意可知d=-1-=2【答案】AJ32+422、设F、F?分别是椭圆7+y若P是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值：解析(1)由已知得：F1(-s3,O),F2,0),x2x23设点P(x,y),则4+y2=1,且一2Wx2.所以PF1PF2=X2-3+y2=X2-3+14=4x2-2,当X=O,即P(0,1)时，(PF1PF2)mn=-2;当x=2,即P(2,0)时，(PF1PF2)=1.3. (2011长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线X2一=1的左顶点为A,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点，则PA1PF2的最小值为()81A.-2B

6、.-C.1D.0答案A解析由已知得A1(1,0),F2(2,0).设P(x,y)(x21),则PA1PF2=(-1-,-y)(2-,-y)=42-5.令f(x)=4x2-5,则f(x)在X对上单调递增，所以当x=1时，函数f(x)取最小值,即PA1PF2取最小值,最小值为-2.4. (2011安徽模拟)点A、B分别为椭圆黑+=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于X轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标:(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于IMB求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.解析由已知可得点A(6,0),F(4,0),设点P的坐标是(x,y),则A

7、P=(X+6,y),FP=(x-4,y).由已知得错误!消去y得，2x29x-18=0.x=或x=-6353353由于y0,只能X=2，于是y=2，所以点P的坐标是(2，2直线AP的方程是x3y+6=0设点M的坐标是(m,0),则M到直线AP的距离是吗到,于是怨h=m-6,又一6m6,解得：m=25.6. (文)已知点A(2,0)、B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x上运动，则APBP取得最小值时的点P的坐标是.v45+y2噬+2祥+828,当且仅当y=0时取等号，此时点P的坐标为(0,0).、D四个点。(I)求r的取irwi-_(H)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的癌所

8、K-Z31f1Ey2=X代入圆M：(x-4%+y=r2(r0)o消去平,整理得2-7x+16-2=0抛物线E:y2=X与圆M:(x-4)2+y2=r2(r0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程(1)有两个不相等的正根49-4(16-*2)05口乩515r.*+.=70即、_212.解这个方幽得2r0-4r412(II)设四个交点的坐标分别为A(XB(XC(X1、D(X2，则由根据韦达定理有X*X7,Xq2=16量，r=(f,4)则S=J2.|q-川亚+闻-XJ底+冏:S=(x+x)2-4x(x+X2xx)=(7+2/16-r2)(4r2-15)121212Y12令J62=t,则S2=

9、(7+2t)2(7-2t)下面求S2的最大值。方法2：设四个交点的坐标分别为A(Jp、B(Xjy孑)、C(X,)xDfj)则直线AC、BD的方程分别为y-_RR(X_X)，y+产=ZKjjK(X-X)W1XX1V1XX12121解得点P的坐标为(田彳/)。设f=3由二6-2及得t=(0,；)由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积S&X+2y1)IX1-XI则S2=(x+2XX+X)(x+X)24xX将X+x=7,IN122121212JXJ2二f代入上式，并令f()=S2,等f(t)=(7+22(7-2f)=&328匕+98f+343(0f1)2.f(t)=24？256t+98=-2(2t+

10、7)(6t7),令f(f)=0得f=/,或f=f(舍去)O/当0fO;当f=%寸f(f)=O;当时，f(t)b0)方的动点，直线，AS,BS与直线I：X=一3分别交于M,N两点。(I)求椭C的方程：(H)求线段MN的长度的最小值;圆(解方法一由已知得，椭圆C的左顶点为A(2,0),上顶点为D(0,1),:a=2,b=1故椭圆C的方程为?+Y2=1(H)直线AS的斜率k显然存在，且k0,故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而M(吧33(1y=k(x+2)由(X2得(1+4k2)2+16k2+I6k2-4=04+y2=1o./c、16Ar-428k24k设S(XJX)，则(.2)，VFr得，

11、从而yrFMNI=I-+-XkO,:IMN=+J-；I33k33k当且仅当F-二,即k=一时等号成立：k=一时，线段MN的长度取最小值一33k4438、已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为X=5，离心率e=店.(I)求该I(H)如*20)图，点A的坐标为(-对，B是圆X2+(y-邪=1上的点，点由以双曲线右支上，求MA+MB,的最小值，并求此时M点的坐标；轴上，故可设双曲线的方程为_6|由准线方程为X得5解得a=1,c=7从而b=2,:该双曲线的方程为X2=1.(H)设点D的坐标为(明，则点a、D为双曲线的焦点，|MAITMD1=2a二2所以IMA1+|MBI=2+|MB1+|MD2+B

12、D|,-；B是圆2+(W5)2=1上的点，其圆心为C(0,),半径为1,故BD2CD卜1=ri+1从而IMA1+IMBI22+BD2石5+1当M,B在线段CD上时取等号，此时IMA|+|MB|的最小值为M+1直线CD的方程为y=-X+,因点M在双曲线右支上，故X0(42-y2=4-/+424/S-4由方程组0,解得mV1,又一5O)与椭圆相交于E,F两点，求四边形AEBF面积的最大值.解依题设得椭圆的方程为手+y2=1.直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=k(kO).设E的,kx1),F(x2,kx2),其中XiVx2,2且Xi,X2满足方程(1十4k2)2=4,故X2=-Xi,根据点到直线的距离公式和式，得点E,F到AB的距离分别为+x21=错误!,错误！=错误！，5又IAB1=22+1M，所以四边形AEBF的面积为S=IAB1(N+)WG错误!=错误!=2错误!W2错误