微专题一 定点问题 2.docx

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1、压轴突破圆锥曲线中的热点问题微专题一定点问题热点聚焦分类突破研热点析考向突破点一直线过定点【例1】已知A,B分别为椭圆氏+y2=I(A1)的左、右顶点，G为E的上顶点，屐7强=8/为直线x=6上的动点，以与E的另一交点为C,尸3与E的另一交点为D(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.解由题设得A(一,O),B(a,0),G(0,1).则启=(m1),GB=(af-1).由而击=8,得,一1=8,解得4=3或=3(舍去).所以椭圆E的方程为S+j2=1.证明设CaI,y),O(X2,户)，P(6ft).若r0,设直线CD的方程为x=my+nf由题意可知一32)+(+3)2=0.将x=my

2、+n代入5+9=1得(加29)y2+2mny+n29=0.所以yi+”=2Tmn2-9zn29,nr+9代入式得(27+加2)(层一9)2W?(+3)?+(+3)2(m2+9)=0,解得=一3(舍去)或3-2-3故直线CD的方程为X=叼+/即直线CQ过定点g,0).若f=0,则直线CO的方程为y=0,综上，直线Co过定点停0).探究提高1动直线/过定点问题.首先设动直线方程(斜率存在)为y=kx+ti再由题设条件将f用攵表示为，=机女，得y=Z(x+机)，故动直线过定点(一孙0).2.从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.【训练1】(2023株洲质检)在平面直角坐标系中，已知圆心为点

3、Q的动圆恒过点F(1,0),且与直线工=-1相切，设动圆的圆心。的轨迹为曲线C(1)求曲线。的方程；(2)过点尸的两条直线八，/2与曲线C分别相交于A,8与C。四点，且M,N分别为AB,Co的中点.设/1与/2的斜率依次为公，k,若心+上=-1,求证：直线MN恒过定点.解由题意知，圆心。到点尸(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等，故由抛物线定义知，圆心。的轨迹是以网1,0)为焦点，以直线x=1为准线的抛物线，设其方程为y2=2pQ0),则?=1,=2,故曲线C的方程为y2=4.(2)证明由题意设/1,，2的方程分别为y=Z(-1)(%0),y=fa(-1)(2O).联立得方程组y=k(-

4、1),y=4x,消y整理，得好/一(2后+4)x+后=0,其4=16后+160,./+2则包12后+4所以月X2=-后一，同理*萨,2_2_ms.hk2k1k2所以kMN=+22I+fa-后R由Zi+%2=1f得Jcmn=kkz=k(1k)=k(+Ar)所以直线MN的方程为厂看=%(1+Ai)(J2j,整理，得y+2=M(1+=)Q1),所以直线MN恒过定点(1,-2).突破点二曲线过定点【例2】(2023湖北联考)已知椭圆C5+$=13心1)的离心率为当它的上焦点到直线bx+2ay巾=O的距离为坐(1)求椭圆C的方程；(2)过点心，0)的直线/交椭圆C于43两点，试探究以线段48为直径的圆是

5、否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由.解(1)由题意得，e=当.又4=济+c2,所以从=1,a2=2t故椭圆C的方程为号+f=12(2)当481E轴时，以线段AB为直径的圆的方程为QT)+/=V当AB1y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2+V=可得两圆交点为Q(1,0).由此可知，若以线段AB为直径的圆过定点，则该定点为。(一1,0).下证Q(1,0)符合题意.设直线/的斜率存在，且不为0,其方程设为丁=伞一9，代入5+x2=1,21并整理得(F+2)x2一$4+于22=0,设A(X1,y)tB(x2f72),2於2-18则Xi+x2=3(/+2)wf2=9(F+2)所以33=

6、(x+1)(X2+1)+y*=X1X2+xi+x2+1+XI-(2-；)=(12)xx21*)(x1+x2)+1=0.故3j_说，即Q(1,0)在以线段AB为直径的圆上.综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(-1,0).探究提高1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即A=O或A不存在时.2.以曲线上的点为参数，设点Pa1,yi),利用点在曲线yu,y)=0上，即,)=0消参.【训练2已知椭圆C：+=13b0)的离心率左、右焦点分别为Fi,b2,点A为椭圆上一点，NnAF2=60。，且SZXQA产2=5(1)求椭圆C的方程；(2)

7、设动直线/：y=Ax+机与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点。.请问在X轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解由e=g,得02=4c2.又SF1AF2=AFAF2sin60o=3,所以IAF1HABI=4.在4QAB中，利用余弦定理得4c2=AFI2+AF22-2AFAF2cos60,所以4=(AF+A尸2)2-3HF1IIAb2=412.则/c2=3,从而02=4,c2=1,b2=3.所以椭圆C的方程为弓=1.(2)设Pao,),由0,得OF2),联立f+=b.y=k(-1),消去y得(I+23)x24FX+232=

8、0,=8F+80,.4F2也一2+2=,x,x2=+假设X轴上存在定点Oa,0),使得瓦前为定值.9.,DEDF=(x-ofy)(x2-xo,2)=xx2-xo(xx2)xoy1y2=X1X2-X(xiX2)+x8+A(xi-1)(X2-1)=(12)xiX2-(xoA)(xiX2)x82(2,4xo1)k2+(-2)1+2A，5-4O=要使波.而为定值，则泥1丽的值与k无关，.*.2xo4xo1=2(d2),解得此时南.标=V为定值，定点为你Oj.故存在定点喏，0),使南丽为定值一看专题训练对接高考求落实迎高考1 .(2023厦门模拟)已知椭圆C：，+方=130)的左、右焦点分别为F,F2,FiF2=4,且a=yb.(1)求。的方程；(2)若A,8为。上的两个动点，过尸2且垂直X轴的直线平分NABb求证：直线AB过定点.(1)解因为囚尸2=4=2c,所以c=2,所以一庐=4.又a=yibO,所以*=8,从=4,故C的方程为5+3=1O4(2)证明由题意知，直线AB的斜率存在，F2(2,0).设直线AB的方程为y=Ax+m,Aa1,y),B(X2,y).t+J,84得(1+23)f+4加a+2628=0,y=kx+m则力=16k1nr