教材解读第二章一元二次函数方程和不等式章整体解读.docx

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1、第二章一元二次函数、方程和不等式与“集合”“常用逻辑用语”一样，“相等关系与不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”的内容也是课程标准（2017年版）规定的高中数学课程的预备知识.它们的作用都是为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.为什么“相等关系与不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”的内容能发挥这样重要的作用？它们为高中数学课程的学习做了哪些方面的准备呢？首先，相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础，而方程和不等式都是重要的数学工具，在解决问题中有广泛的应用，因此对方程和

2、不等式内容的学习，主要是为高中数学课程提供工具方面的准备.其次，函数是贯穿高中数学课程的最重要的概念和思想方法，用函数的观点看方程和不等式是要向学生渗透一种重要的思想方法一如何从函数的观点理解其他数学对象，进而把握不同数学对象的共性和相互关系.而这种思想方法对学生高中阶段的数学学习是非常重要的.最后，从学习方法来看，本章要在回顾、梳理等式内容的基础上，提炼等式中蕴含的思想方法，以及用一次函数的观点看一次方程、不等式的思想方法，再把这些思想方法迁移到对不等式内容的学习中.这种“回顾、梳理一提炼一迁移”的学习方法将适用于高中许多内容的学习.一、本章内容安排在初中，学生对于等式有了比较深入的认识一一

3、建立方程（组）表示相等关系.为了解方程而研究了等式的一些基本性质，还研究了两种具体的方程元一次方程和一元二次方程的解法和应用.概括起来，初中研究等式内容的顺序是“现实或数学背景一相等关系与等式一等式性质一方程及其解法一应用”.考虑到不等式与等式在研究内容和研究方法上的相似性，我们在构建不等式内容的结构体系时，采用了与初中等式的研究类似的顺序，即按照“现实或数学背景一不等关系与不等式一关于两个实数大小关系的基本事实一不等式性质一不等式解法、证明一应用”的顺序来编排不等式的内容.具体结构如下：首先,类比“相等用等式表示，从研究现实世界和数学中的不等关系人手,举例说明如何用不等式表示不等关系.接着，

4、安排了关于两个实数大小关系的基本事实，因为它们（再加上学生已经熟知的实数的一些基本性质）是研究不等式的性质的基础，为不等式的研究奠定了逻辑基础.然后，教科书类比等式的基本性质，研究了不等式的基本性质及其证明.最后，研究了两类具体的不等式一基本不等式的证明和应用，以及一元二次不等式的解法和应用.对于不等式性质的研究，教科书是通过梳理等式的基本性质，归纳其中蕴含的思想方法，再把这种思想方法迁移到对不等式的性质的研究上而展开的.而对一元二次不等式的内容，教科书总体上是按照“定义一解法一应用”的思路展开的，但重点放在了“解法”上一一通过类比用一次函数的观点认识一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，学

5、习从二次函数观点认识一元二次方程和一元二次不等式，在这个过程中，不仅进一步渗透了用函数理解方程和不等式的思想方法，而且“顺便”学习了借助一元二次函数求解一元二次不等式的方法.本章如此编排，希望达到的教育价值可以用刘洁民老师关于数学教育的观点来概括：“在这样的过程中，学生将获得抽象思维的基本能力，学会抓住事物的本质，学会用统一的方法处理看似无关的事物，进而把握事物的共性和相互关系.”二、基于等式与不等式的共性与差异探索不等式的内容，渗透“研究一个数学对象”的套路等式与不等式有很多共同之处，也存在差异.学生在初中学习了等式、方程的知识，在高中阶段将重点学习不等式的内容.在初中的代数学习中，学生对如

6、何研究一个代数对象已经有了初步感受，因此本章在编写时注意引导学生借助已有经验构建研究不等式的基本路径.具体做法是，先通过梳理初中已学的等式内容，引导学生归纳概括其中包含的学习路径、思想方法等，再通过类比等式的内容和思想方法，探索不等式的相关内容，包括研究对象的抽象、研究内容的确定、研究过程的安排、研究方法的获得等.1 .编排的顺序前面我们已经介绍了，教科书中不等式的编排顺序是在类比初中对等式的研究顺序的基础上获得的.教学中可以在学习本章内容之前，先让学生在回顾和总结初中等式的学习过程“现实或数学背景一相等关系与等式一等式性质一方程及其解法一应用”，然后把这个过程进一步精简为“获取代数对象一性质

7、一运算一应用”，在此基础上，再让学生自己提出研究不等式内容的顺序.这实际上是帮助学生构建“研究一个数学对象”的套路，积累数学研究的经验.2 .性质的探索本章的重点内容之一是不等式基本性质的发现过程及性质本身.我们在编写时，考虑到等式的基本性质与不等式的基本性质在表现“式的基本性质”方面是相通的，即都反映了相等关系或不等关系自身的特性，以及等式或不等式在运算中的不变性，因而设计了一个学习过程：先通过一个思考栏目，让学生梳理初中学过的等式的基本性质，并观察它们的共性，归纳出其中蕴含的数学思想方法（式的基本性质），再通过一个探究栏目，让学生类比等式的基本性质，猜想不等式的基本性质.这样，利用等式的基

8、本性质中蕴含的数学思想方法，来引导学生探索、发现不等式的基本性质，有利于加深他们对代数性质的认识，提高他们提出问题和解决问题的能力.类比等式的基本性质，发现不等式的基本性质也是本章教学的一个难点.这是因为归纳等式的基本性质所反映的“式的基本性质”对学生来说是困难的，此外不等式的基本性质表现出了不同于等式的性质的特性，也增加了类比的难度.在教学中，要体现在初高中内容之间建立链接，提升学生对已学内容的认识,在此基础上进行拓展，也就是体现“回顾、梳理一提炼一迁移”的过程,其中“提炼”是关键.具体做法是，可以先引导学生梳理出等式的性质（教科书上的性质15）,再引导学生发现其中的性质1和性质2是所谓的“

9、对称性”和“传递性”，它们反映了相等关系自身的特性，而性质35反映了等式在四则运算中的不变性.再告诉学生，“式的基本性质”就集中反映在“自身的特性”和“对于运算的不变性”这两个方面，不等式也不例外.最后，启发学生在“式的基本性质”的指引下探究不等式的基本性质.在探究的过程中，可以继续与等式类比，如从“对称性”和“传递性”两个角度去考察“不等关系自身的特性”，也可以借助特例验证、修正猜想的性质，再证明.3 .模型的构建用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题对学生来说是一个难点.考虑到学生在初中多次经历了建立方程（组）模型解决实际问题的过程，本章在编排用基本不等式解决最值问题的内容时，利用了学生

10、在初中建立的模型的思想，把基本不等式看成了一种数学模型，通过把实际问题中的数量关系转化为数学模型，从而求得数学模型的解来使实际问题获得解决.但用基本不等式模型解决问题存在与方程模型不同的地方.基本不等式模型是由基本不等式演化出的两类数学模型，分别是一组条件与结论,对应了能用基本不等式解决的两类最值问题.所以在用基本不等式解决实际问题时，需要理解和识别实际问题，如果实际问题符合这两类最值问题，就可以把问题转化为基本不等式模型.因此，本章在编写中先给出了用基本不等式求代数式最小值问题中的简单情形（第2.2节例1）,然后以例题（第2.2节例2）的形式给出了基本不等式模型，再在解：决实际问题（第2.2

11、节例3,4）时，引导学生简化问题情境，分析为什么问题中的数量关系符合基本不等式模型对应的两类最值问题，最后再把实际问题转化为基本不等式模型予以解决.这个过程进一步发展了学生的模型思想，为他们今后用数学模型解决更复杂的问题打下了基础.教学中要注意结合基本不等式模型与函数模型的区别与联系，深入认识基本不等式模型解决问题的特点.并有目的地利用教科书上的例题，例如，对于第2.2节的例1,可以用“一正、二定、三相等”这种通俗易懂的语言帮助学生理解和记忆能应用基本不等式解决的问题的特点；对于第2.2节的例2,可以帮助学生根据基本不等式的数学模型总结哪两类最值问题可以用基本不等式解决，为解决例3,4埋下伏笔

12、.三、从函数的角度认识不等式，体现数学的整体性相等关系和不等关系是两种基本的数量关系，方程和不等式分别是刻画这两种基本数量关系的数学工具，从函数观点看方程和不等式则将三者联系起来，有利于学生从整体上认识三者的关系.在初中，学生学习了从一元一次函数观点看一元一次方程、不等式，为用函数观点看方程和不等式打下了一定基础；另外，学生在初中还学习了二次函数，对二次函数解析式、图象及其性质也有了一定的认识.本章从二次函数观点看一元二次方程、不等式，可以帮助学生把上述内容和思想方法联系起来，进一步深入理解二次函数，经历类比从一元一次函数观点看一元一次方程、不等式的思想方法，探索二次函数图象与相应的一元二次方

13、程的根、一元二次不等式的解集之间的联系，并获得一元二次不等式的解集的过程.这个过程有利于学生体会数学的整体性，进一步提升数学抽象素养和逻辑推理素养.从这个角度来说，二次函数与一元二次方程、不等式的联系是本章的另一个重点内容.为了落实这个重点，教科书的具体做法是，在第2.3节探索一元二次不等式的解：法之前，设置了一个思考栏目，让学生在回顾初中学过的从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法的基础上，考虑能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法.在解答这个思考栏目时，教科书以具体的一元二次不等式为载体，类比一次函数与一元一次方程、不等式在函数图象上表现出

14、的联系性，探索了二次函数图象与X轴的交点、在入一轴上方和下方部分的代数解释，并求得了这个一元二次不等式的解集.接下来，教科书对上述方法进行了归纳和概括，获得了用二次函数求解一元二次不等式的一般性方法.教科书的上述做法实际上展现了“回顾、梳理一提炼一迁移”的过程，教学中也要注意体现这个过程.例如，可以让学生回顾从一次函数的观点看一元一次方程和一元一次不等式的含义，体会三者的联系中蕴含的一般规律：函数图象与X轴的交点的横坐标即相关方程的根，在X轴上方或下方的点的横坐标的取值范围就是相应不等式的解集.再引导学生借助这个规律，探究二次函数与一元二次方程、不等式的关系，学生将不难从二次函数图象的关键点上

15、去寻找解决问题的“突破口”.四、从不同角度阐释不等式，揭示不等式的本质认知心理学认为，对同一个概念进行多元联系表示，有利于揭示概念的本质.不等式是用不等号连接起来的式子，有的不等式的内涵是比较抽象的，为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，本章用自然语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式或不等式的性质.例如，不等式的性质3是“如果b,那么acb+cff,用自然语言可以更“直白”地表达这条性质的含义，即“不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向”，而使用如图1所示的数轴，则可以直观地展现性质中蕴含的运算过程和运算结果（即把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，分别得到点

16、4与S,A与3和4与S的左右位置关系不会改变）.AA1BBT1111、bb+ca4+cAAB1B1II.b+cba+ca图1又如，基本不等式“是一个很有魅力的不等式，又是可以用许许多多有趣的方式建立起来的一个不等式；基于各种各样想法的证明简直有好几打之多”.教科书先通过对不等式/+222的字母代换，得到了基本不等式，同时揭示了这两个重要不等式之间的联系；而对基本不等式的证明所采用的“分析法”，则表明从一个显而易见的事实出发，可以利用不等式的性质推导出基本不等式.教科书还给出了基本不等式的文字描述一两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，这个描述指出了基本不等式的不等号的两边分别代表的含义，暗示了基本不等式最初可能是用来刻画两个正数的不同均值之间的关系的，而且与学生熟悉的“算术平均数”和“几何平均数”建立联系，便于学生记忆这个不等式；而以探究栏目的形式给出的基本不等式的几何解释，相当于给出了基