突破圆锥四讲彻底搞定斜率问题.docx

《突破圆锥四讲彻底搞定斜率问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《突破圆锥四讲彻底搞定斜率问题.docx（43页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、【常见结论】1【典型题型】2题型一：斜率和问题2题型二：斜率差问题12题型三：斜率积问题17题型四：斜率商问题29【常见结论】221、己知P(XO,%)是椭圆，+斗=1上的定点，直线/(不过2点)与椭圆交于A,B两ab点，且则直线/斜率为定值”.222、已知P(AO,%)是双曲线=1上的定点，直线/(不过2点)与双曲线交于A,abB两点、,pa+=0,直线/斜率为定值-ay03、已知?(小,%)是抛物线丁=2外上的定点，直线/(不过。点)与抛物线交于M,N224、P(Xo,%)为椭圆:*+两点,若&y+Zp8=0,则直线/斜率为定值-二.%=130,60)上一定点，过点。作斜率为用，心的两条直

2、线分别与椭圆交于M,N两点.(1)若K+幺=4工0),则直线MN过定点(而-与1yO-Z);a(2)若女”)，则直线MN过定点44”o,-4%o)CTa2-b2a2-b25、设P(AO,%)是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过?作两条直线AB,8交椭22圆:+方=1(0,80)于A、B、C、D,直线AB,CZ)的斜率分别为K,k2,弦AB,CD的中点记为M,N.(1)若+攵2=卬N0)，则直线MN过定点(不一方,一会若S2=孙吟)，则直线MV过定点(告,缶).6、过抛物线y2=2px(p0)上任一点P(XO,汽)引两条弦F4,m，直线P4,Q8斜率存在，分别记为即1+2=1(1W0),则直线

3、AB经过定点Q-也,女-%).【典型题型】题型一：斜率和问题例1.(2023全国高三专题练习)已知动点M到直线x+2=0的距离比到点F(1O)的距离大1.求动点M所在的曲线C的方程；(2)己知点P(1,2),45是曲线C上的两个动点，如果直线碗的斜率与直线尸B的斜率互为相反数，证明直线AB的斜率为定值，并求出这个定值；【解析】(1)已知动点M到直线+2=o的距离比到点R1，)的距离大1,等价于动点M到直线X=T的距离和到点尸(1，0)的距离相等，由抛物线的定义可得：动点M的轨迹是以产(1O)为焦点，以直线X=T为准线的抛物线，可得p=2,抛物线开口向右，,曲线C的方程为V=4.(2)设直线AA

4、的斜率为3直线总的斜率与直线总的斜率互为相反数，工直线尸5的斜率为-%,则=1pB：y-2=-k(x-1),联立方程组P亍MXT),整理得好2_打斗+8=0,y=4x即肉+(24)(y-2)=0,y=或产2(舍)可得A(生泮,三丝)fV2=k(x1)联立方程组V2，整理得62+4y-4k-8=0,y=4X即0+(2左+4)(y-2)=0,),=与经或产2(舍)可得以生手,土竺)kk,kY-2k4-22则心8=0*(J序=T即直线48的斜率为定值-I.(kZ+K)(Z-K)i?kr例2.(2023.四川省南充高级中学模拟预测(理)在平面直角坐标系XQy中，椭圆C：22+1=1(abO)的左，右顶

5、点分别为4、8,点F是椭圆的右焦点，A户=3FB，AFFB=3(1)求椭圆。的方程；(2)不过点A的直线/交椭圆C于M、N两点,记直线/、AM.AN的斜率分别为上、尤、附若&(勺+&)=1,证明直线/过定点，并求出定点的坐标.【解析】(1)由题意知,A(-40),B(,0),F(G0),.AF=3FB,AFFB=3fa+c=3(a-c)a=2x2v2/J解得I，从而=a2_c2=3,.椭圆C的方程为工+匕=1.(+c)(-c)=3c=43(2)设直线/的方程为尸+团，MNyJ,N(x2,必).；直线/不过点儿因此y=kx+rn-2k+m0.得（3+4&2）2+8Anr+4n2-12=0,ash

6、.kn4/W-120时，x+x=-41XX9=厂3+4A2123+4公4n2-12c,、-Shn.k+k2MI%=2处毛+(2+?)(3+七)+4，x1+2x2+2x1x2+2(x1+x2)+42k1+2k+w)7+4，%3+4攵2)3+442W-12+2Skm+43+4公3+4公2(m-2k)34(146+叱)=，P由%(4+e)=1,可得弘二加一，即,=53故/的方程为N=履+53恒过定点(-5,0).例3.(2023贵州高三阶段练习(理)平面内一动点尸到定直线x=4的距离，是它与定点产(1,0)的距离的两倍.(1)求点P的轨迹方程C;过尸点作两条互相垂直的直线4,I2(直线4不与X轴垂直

7、).其中，直线4交曲线C于A,8两点，直线，2交曲线C于E，N两点、,直线，2与直线x=m(%2)交于点若直线MB,MF,MA的斜率心8，3一构成等差数列，求用的值.IPF1=1J(XT)-+V=【解析】(1)设点PaM,由题，有卜一4|3,即x43,解得犷+4人12,所以所求P点轨迹方程为+=143(2)由题，直线4的斜率存在且不为0,设直线4的方程为y=(),=(x-1)与曲线C联立方程组得*2/2_,解得(4/+3)/-81+4/-12=0,+=1U3设AaM阻，则有g=诉依题意有直线，2的斜率为f则直线的方程为f1)，A(X1-I)+4(工2-1)+1/m-1+m-、x1-Wx2-m从

8、一?x2-mk2x1x2-(1m)(x1+x2)+2m1(w-1)(x1+x2-2m)xx2,(x+x2),n+n2kx1x2-(x1+x2)/H+m266一24(w-)T2mJ,I44K+3J42-128公2%42-128公2；tn；-m；n；-tn4A2+345+34+34公+36m-244r+3所以左X+m22k因为2k1iiF=KWA+Kw8，4攵212Sk2；m-T4&2+342+3解得(加4XF+)=o,则必有吁4=0,所以m=4.变式1.(2023广西模拟预测(文)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在轴上，点Q(2,7)关于X轴的对称点P在抛物线C上.(1)求抛物线C的方程；(2

9、)A、5是抛物线C上异于点P的两个动点，记直线外和直线PB的斜率分别为匕、k2(kyk20),若;+；=2,求证：直线AB过定点.K12【解析】(1)由题意可知，设抛物线C的方程为/=)，易知点P(2)，由题意可得=22=4,所以，抛物线C的方程为f=4)，.i.1K=21=J_=x0,由韦达定理可得用+%=公，y=kx+bx1x2=-Ab,11444(x+x2+4)-=-+-=V2；=2,可得芭2-4=-4b-4=0,解得6=-1,即12x1+2x2+2x1x2+2(x1+x2)+4直线A8的方程为=齿-1,所以，直线AB过定点(0,T)变式2(2023重庆八中高三阶段练习)已知椭圆。的中心

10、为坐标原点，对称轴为工轴，丁轴,且过4-2,0),8。T)两点.(1)求椭圆。的方程；(2)户为椭圆。的右焦点，直线/交椭圆C于P,Q(不与点A重合)两点，记直线AP,AQ,/的3斜率分别为。&，A，若k+k,4,证明：的周长为定值，并求出定值.【解析】（1）由已知设椭圆C方程为：*+）=1（加，）,代入4（-2,0）,414，得加=故椭圆C方程为工+匚1.4343（2）设直线/：、=+犯P（x，x），Q（X2，）,由），：+7=（4-+3）Y+8加比+4/-12=0得，3x+4y=127-Skni4公+3W-1242+3=642m2-4（4&2+3）（4/-12）=192公_48/+144,

11、=y=W+mk=4+m,X1+2X1+2,2X2+2Ax1+mkx2+m_2kxr2+2k（X+%）+6（芭+，2）+4团又12x1+2x2+2x1x2+2（x1+x2）+4_Shn2-24k-16k2m-Shn2+6k2m+2m_3tn-6k4m2-12-6kn+6k2+2m2-4+42，3由勺+幺=一7，得-3b+2产=0,故（?一2攵）（加一攵）=0=m=2A或m=&,当z=2A时，直线1y=日+2Z=A（x+2）,过定点A（-2,0）,与已知不符，舍去;当帆=Z时，直线/:y=+&=&（x+1）,过定点（-1,0）,即直线/过左焦点,此时4=192/-48,/+144=144/+144

12、）0,符合题意.所以的周长为定值包=8.变式3.（2023.辽宁模拟预测（理）已知椭圆UW+m=1（bO）的左、右焦点分别为、6,直线y=?与椭圆C交于A、3两点，ZAF2B=90,M为椭圆C上任意一点，且IM周M闾的最大值为16.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的上顶点N作两条不同的直线，分别交椭圆C于另一点P和Q（异于N）,若直线NP、NQ的斜率之和为6,证明直线PQ恒过定点，并求出定点的坐标.【解析】（1）联立方程7+F3by=4X=a5T4或，y=-b5_4二，不妨设A於*,y5B属“争，因为玛(c,0),所以KA=C-2,|人，阍0+,之因为NAEB=90,所以序4?63c2a2

13、+-b2=0,化简得知二16/，即%=如,因为IM周被词萨iMA=/二16,所以=4=3,故椭圆。的方程为余+卷=1,(2)当直线PQ的斜率存在时：显然斜率不为0,否则直线NP、NQ的斜率之和为0,不符合题意，设直线PQ的方程为y=h+叫无构。,加3),P(x1,y1),(x2,y2),y=kx+m联立32km9+16&2产产，得(9+16/)f+32hM+16-144=0,A6+9J6r-144,因为直线M、NQ的斜率之和为6,N(0,3),1-9+16公kx1+?-3kx+rn-3/M+/所以一J=2k+(m-3-=6,X1X2，XiX2故直线PQ的方程为y=履+-3,即y+3=A(x+1),恒过定点(-3),当直线PQ的斜率不存在时：设直线PQ的方程为=%,P(%,y),Q(0,%)，其中y+)2=0,因为直线NP、NQ的斜率之和为6,N(0,3),所以=+2=.+-6=2=6,解得=7,恒过定点(T,-3),/可与综上所述：直线尸。恒过定点(T-3).变式4(2023广西桂平市第五中学高三阶段练习(文)已知抛物线Cy2=2PX(OV4)的焦点为产，准线/与/轴交于点M，过点尸的直线交抛物线于A,3两点，点A在第象限.(1)若IA/1=