第五章 导数及其运用 教学课堂练习题.docx

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1、第五章导数及其运用知识网络第1讲导数的概念及运算知识梳理1 .用定义求函数的导数的步骤.(I)求函数的改变量Ay；(2)求平均变化率”.(3)取极限，得导数ft(X0)=Iim”.ZxoAV2 .导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线/(x)在某一点(xo,%)处的导数是过点(x。，yo)的切线的物理意义：若物体运动方程是s=s(t),在点P(/0,5(to处导数的意义是t=to处的解析：斜率.：瞬时速度.3 .几种常见函数的导数C=O(C为常数)：(xn),=nxn-1(w?):(sinx)=；(cosx)=；(In)t=；(1og“x),=IOgae；xx(ex)=exi(ax)=axna

2、.4 .运算法则求导数的四则运算法则：/(wv)=uV；(wv)=；=(v0).复合函数的求导法则：(X)=f(u)(x)tyx=yuux重难点突破1重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法2 .难点：切线方程的求法及复合函数求导3 .重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.(1)平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。问题1.比较函数f(x)=2与g(x)=3,当X1,2时,平均增长率的大小.点拨:解题规律技巧妙法总结：计算函数的平均增长率的基本步骤是计算自变量的改变量AI-=X2-玉(2)计算对应函数值的改变量与，

3、=)-)计算平均增长率：=/(/)(石)xX2-xi对于f(x)=2)2=与;=3,又对于g(x)=3,2=字/=8故当X1,2时，g(x)的平均增长率大于/(幻的平均增长率.(2)求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则，问题2.已知y=(1+cos2x)2,则)/=.(3)求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题3.求y=2x2+3在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。点拨：点尸在函数的曲线上，因此过点尸的切线的斜率就是V在X=I处的函数值；点。不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线.切忌直接将尸，。看作曲线上的点用导数求解。热点考点题型探析考点1：

4、导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值例1设函数/(X)在X。处可导，则Iim二等于vOxA.,()B.-,(x0)C./()D.-f*o)考点2.求曲线的切线方程例2如图，函数y=(x)的图象在点户处的切线方程是y=-x+8,则5)+/(5)=.【解题思路】区分过曲线P处的切线与过尸点的切线的不同，后者的尸点不一定在曲线上.解析:观察图形,设P(5,(5),过P点的切线方程为y%-X+8y-/(5)=,(5)(X5)即y=f(5)x/(5)-5/(5)它与y=X+8重合,比较系数知：/(5)=1,/(5)=3故5)+f(5)=2【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点.若是，可以直

5、接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标.题型3.求计算连续函数)，=/(X)在点x=x0处的瞬时变化率例3一球沿一斜面从停止开始自由滚下，IOS内其运动方程是s=s(t)=F(位移单位：团，时间单位：s),求小球在t=5时的加速度.【解题思路】计算连续函数y=(x)在点x=0处的瞬时变化率实际上就是y=f(x)在点X=XO处的导数.z,c.,、七41.s(5+Af)-s(5)1.(5+)5解析：加速度V=Iim-=Iimr0Zr0Z=Iim(10+/1)=10ms.rO，加速度v=2t=25=10ms.名师指引】计算连续函数)，=/(X)在点X=XO处的瞬时变化率的基本步骤是1 计算Ay=

6、/(N)+AT)一/(工。)xx2 .计算Iim包QfOx【新题导练】.1 .曲线y=1和y=V在它们交点处的两条切线与X轴所围成的三角形面积是.X解析：曲线y=工和y=/在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=-+2和y=2xX31,它们与X轴所围成的三角形的面积是士.4点拨：与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.2 .某质点的运动方程是S=J(2Z-1)2,则在t=1s时的瞬时速度为()A.-1B.-3C.7D.13解:B点拨:计算Iim包二-+An-Sa)即可心rr3 .已知曲线Cwy=Jt2与。2：J=-CV2)2,直线/与G、Ci都

7、相切，求直线I的方程.解：设/与G相切于点尸(X1/F),与C2相切于0(X2,一。22)2)对于C1：y=2x,则与C1相切于点P的切线方程为y-2=2r(-),SPy=2xxx2对于C2：y=-2。-2),与C2相切于点。的切线方程为卢。22)2=-2(一一2)。一也),即y=-2(x2-2)x+X22-4两切线重合，2x尸一2(及一2)且一方2二也24,解得XI=OM=2或阳=24=0直线/方程为y=0或y=4x-4点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.考点2导数的运算题型1:求导运算例1求下列函数的导数：(1) y=excosx(2)y=2+tanx(3)y=1

8、n(x+1)【解题思路】按运算法则进行解析(1),y=excosx,.,.y=()cosx+ex(cosx)=excosx-exsinx2(2zsinx_cos2x-sinx(-sinx)(2) .y=x+tanx,.y=Y)+()=2x+妾fCOSXCOS-X=2x+-cosx11y=-7U+1)=-rx+1x+1【名师指引】注意复合函数的求导方法(分解求导回代)；注意问题的变通：如y二加一、的导数容易求错，但y=上的导数不易求错.ex题型2:求导运算后求切线方程2例2.(广州市2008届二月月考)已知函数/(x)=/-Iojc+3x(xR).(1)若。=1,点P为曲线y=(x)上的一个动点

9、，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2)若函数y=/(x)在(0,+8)上为单调增函数，试求满足条件的最大整数【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.解析：(1)设切线的斜率为匕则A=f(x)=22-4x+3+2(x-1)2+1又/(1)=g,所以所求切线的方程为：-j=-1即3为一3y+2=0.【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.与曲线y=-2相切于PQ,e)处的切线方程是(D)eA.y=ex-2B.y=ex+2C.y=2x+eD.y=2x-e题型3:求导运算后的小应用题例3.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间/(min)的函数关系可近似地

10、表示为丁=/(，)=WfM,则在时亥h=40min的降雨强度为()A.20/m?B.400C.mm/minD.mmImin24【解题思路】先对，的求导,再代，的数值.解析:小=加=扁/40)=扁选D【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.【新题导练】.4 .设函数/(x)=%(%+&)(尤+2Q(X-3Q,且/(0)=6,则&=A.0B.TC.3D._6思路分析：按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于Z的方程求解.解：,(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k)+x(x+2k)(x-3k)+xx+k)x-3k)+x(x+k)(x+2k)故/(0)=-6k

11、3又八0)=6,故Z=T5 .设函数)=(x-a)(x-A)Cr-c),(a、b、C是两两不等的常数)，mabc贝I+=.f(a)f(b)f,(c)解析：(X)=Cr_)(无一力)+(工一份(/_(?)+(X-C)(R_)代入即得O.6 .质量为IOkg的物体按S)=3产+/+4的规律作直线运动,动能E=加,则物体在运动4s后的动能是解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提3125J抢分频道基础巩固训练7 .(广东省六校2009届高三第二次联考试卷)(x)是*)=g1+2+1的导函数，则,(-1)的值是.解析：.)=f+2故r(_i)=38 .(广东省2008届六校第二次联考)y=XCoSX在X

12、=y处的导数值是.解析：y=cosxXSinj1故填一立万269 .已知直线x+2y4=0与抛物线/=4X相交于4、8两点，。是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P,当以8面积最大时，P点坐标为.解析：M8为定值，以8面积最大，只要P到A8的距离最大，只要点P是抛物线的平行于A8的切线的切点，设P(x,y).由图可知，点P在X轴下方的图象上,G.，1.1.11t.y=-2xt.y=-j=,.kAB=-1=-x22,x=4,代入y2=4x(y0)Wy=-4.P(4,-4)4.(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知f(x)=1nx,g(x)=1x2+fnx+1(WV0),直线/与函数/

13、()、g)的图像都相切，且与函数7J)的图像的切点的横坐标为1 .求直线/的方程及m的值；解：依题意知：直线/是函数/(x)=InX在点(1,0)处的切线，故其斜率k=f,(1)=,所以直线/的方程为又因为直线/与g(x)的图像相切，所以由y=-i19+(w-1)x+-=0,y=-x+7r+-2222得A=(z-1)2-9=0nm=-2(m=4不合题意，舍去)；5 .(湛江市实验中学2009届高三第四次月考)已知函数/(X)=Inx,g(x)=x2+(4为常数),直线/与函数f(x),g(x)的图象都相切，且/与函数f(x)图象的切点的横坐标为1,求直线1的方程及a的值；解由f,()Iy=1，

14、故直线1的斜率为1切点为(1/)即(1,O)：.1:y=x-1又.g)=1,切点为1,g+)比较和的系数得一！+=-1,.=-122综合拔高训练6 .对于三次函数/(X)=以灰2+c+d(qw),定义：设/a)是函数y=()的导函数y=r(X)的导数,若f)=O有实数解X0,则称点(XOJ(XO)为函数y=fM的“拐点现已知/(%)=3/+2x-2,请解答下列问题：(1)求函数/(%)的“拐点”A的坐标；(2)求证/(x)的图象关于“拐点”A对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论(此结论不要求证明).解析(1)/(x)=3x2-6x+2,/(x)=6x-6.令f(x)=6x-6=0得x=E/(I)=P-3+2-2=-2.拐点A(I,2)(2)设P(X,%)是y=f(x)图象上任意一点，则.=%一3君+2x0-2,因为P(x0,y0)关于A(1,-2)的对称点为P(2-x0,-4