2009-2010概率论与数理统计期末试题2（答案）.docx

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1、标准答案与评分标准-(12分)在电报通讯中，发射端发送“点”与“划”两种信号分别占60%与40%。由于随机干扰，接受端可能收到“点，戈与“不清”三种结果。假定发射“点”时,收到“点” “划”与“不清”的概率依次是。70.1与0.2;而发射“划”时，收到上述三种结果的概率相应为0,0.9与0.1 .(1)求接收端收到“点”的概率；(2)若已知接受结果为“不清”时，求发射端发出的信号为“点”的概率.解：假设A=接收端收到“点” ,B, = 发射端发送“点” , B2= 发射端发送“划” (1)由全概率公式，可得2P(A) = gP(Bj)P(AlBj)2 分由题意可知，P(坊)=0.6, P(B2

2、) = 0.4,P(A|B1) = 0.7,尸(A | 82) = 0,2 分将这些代入上面的全概率公式知所求的概率为P( A)= 0.422分 假设C=接受结果为“不清” ，则由Bayes公式可得所求概率IC尸(C|B|)P(31)P(与 I O =尸(C|8)尸(8) +尸(C|8)尸(8)11223 分=02x0,6= 0.750.2 x0.6 + 0.1x 0.43分二、(14分)设随机变量X的分布函数0, x0F x x,0x11, x 1(1)写出X的密度函数；求V21nx的密度函数解：(1)X的密度函数为1,0 x1f X 0,其他(4分)(2)解一：y 21nx的可取值范围是0

3、,y 2 o由 y 21nx 得,-0vV故y 21nx在0,1 上严格单减(2分)1y其反函数x h y e2 ,1 y且 h y ”2(4分)所以y 2加工的密度函数fx1-y2fY(y)解二:因此其他21nx的分布函数Fy y0 时，Fy y 0；0 时，Fy y P Yy 21nx的密度函数（4分）21nx y（4分）（2分）（4分）三:、(18分)设随机向量(x,y)的联合密度/(4)为A 0 x 1 ,oo y oo7( y) = d13J解：ffJ f(x, y)dxdy = 1.1 +001 AR 1+001dxdy = dxdyJ f;Jo J-00 (+y-)JoJ-8 +

4、y2(2)f (x-r /(%,y)dyX J.00当0 x 1时，fx (x)=J (1 + y当工0或12 1 时,fx(x) = 0.,l,0x A = l.(+4)- dy=.(+4)-oo y 、3= /xWP min(X,y) 3(+4)0 x 2, X y2x;1 j r2 3 3 z 3-ydy = I x dx = ;4。82(+3)E(X2) = P j4 x2f(x,y)cbcdy = cbc2x 2X ,一-i2,y 12（18分）设二维随机变量（x,r）的联合密度函数为1于(x, y)=( X：)=“12122分解：设X,表示第，段的测量误差，布，且 XU(05 0.

5、5),则1200显然，测量总误差为x = Zx,，由中心极限定理，所求概率为i=l1200P(|X|20)=P(ZX 20)/=11200=P(20 XZ 20)Z=1吊20 -1200 x 0小一20 -1200 x 0.，1 阿J 11200x1200 义_V 12 V 12=2 (2)1=0.95444分六(18分)设总体X服从几何分布，其分布列为P(X=x) = (lp)ip,x = l,2,其中01为未知参数.X1,X2,X”为抽自总体X的样本,%1，%2,二为相应的样本观测值.(1)求参数P的矩估计；(2)求参数和EX的最大似然估计.解：由于 EX= 13分P令EX = Xn3 分

6、解得p的矩估计为P= 13分X”似然函数为l(p)=n /(匹)=n p。一 p)s = p。p)t 2 分i=li=l对数似然函数为nIn L(p) = z21rl p + (xj_72)ln(l_ p)2对求导并令其为零，得dinn t为一 =一上=01dpp 1- p解得p的最大似然估计为p= 12分京由于EX = J,因此EX的最大似然估计为=x2分八nPP七、（12分）已知一批滚珠的直径服从正态分布，其中标准差为0. 05（mm）现从中随机抽取了 16个，测得样本的平均直径为15. 025mmo问这一批滚珠的平均直径是否大于15mm?（检验水平=0. 05）解：假设: 15 o选取检验统计量心构造拒绝域：ZZ0,05 = 1.645计算得：Z J。 -於=20.05/4故拒绝“。，可以认为这一批滚珠的平均直径大于15mm。4