第13讲 圆的概念与垂径定理点题名师班讲义人教版九年级word无答案.docx

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1、第十三讲圆的概念与垂径定理一、圆的相关概念【点知归纳】1 .圆的定义(1)描述性定义：在一个平面内，线段。绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点4随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点0叫做圆心，而叫做半径.图翻舞藕:平歌瓣嘉i藕于薮您球圾疆盥M荔唾嚼圆O(4)同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆;能够重合的两个圆叫做等圆.注意：注意：同圆或等圆的半径相等.2 .弦和弧(1)弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.(2)直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍.(3)弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.(4)弧：圆上任意两点间的局部叫

2、做圆弧，简称弧.以48为端点的圆弧记作仍，读作弧48.(5)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.(6)半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条瓠都叫做半圆.(7)优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优瓠，小于半圆的弧叫做劣弧.(8)弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.二、圆的对称性1 .旋转对称性(1)圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合.(2)圆的旋转对称性圆心角、瓠、弦、弦心距之间的关系.2 .轴对称性(1)圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴./(2)圆的轴对称性垂径定理.I,三、圆的性质定理_推论2

3、：I.垂径定理二i条平行(I)定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条瓠./1的瓠相(2)推论1：n平分弦(非直径)的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.rA弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条瓠.平分弦所对的一条瓠的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.入。2J,注意：假设“过圆心的直线、“垂直于弦、平分弦(非直径)、平分弓2“平分弦所对的劣瓠中的任意两个成立，那么另外三个都成立.注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：r2d2(y)2,根据此公式，在&,r,d三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量【点例

4、讲练】【例1】如图，在同心圆中，大圆的弦/18交小圆于C,两点.(1)求证：AOC=ZBOD.x-x(2)试确定力C与劭两线段之间的大小关系，并证明你的结论./【练1】如图，点P为00外一点,PO及延长线分别交0于力，8,过点彳竹直佚交加于人(异于索证；(1)ABMN(2)PBPNPAPM.AJp【练2】如图，力回和川切都是直角三角形，且NO=N=90.,(1)求证：A,B,C,D四点在同一圆上；(2)假设将力如沿直线翻折后，问(1)中结论是否仍成立？请证明.【例2】如图,AB是OO的直径，勿是弦，且力反1勿于反Xi(1)假设以=2,AE=S,那么09=乙V，(2)假设跖=2、CD=8,那么/

5、8=*【练】(1)如图，。的半径为5,点M在路4?上，连接。忆假设。M=3.那么对八BM=.(2)如图，在RtZ4%中，NU90J2,g1,假设以C为圆心,CB的长为半径的圆交力8于,那么AP=.【变1】如图,点、P为弦AB上的一动点，连接。尸，过点。作OP,PC交0于C.假设月8=8,那PC长的最大值为.【变2】(1)在半径为1的。中,弦然,力C的长分别为石和虎湃玄电数为.(2)在。中，半径45是两条平行弦，且四=8,加6饰女弦9T也的.【变3】如图，。的弦被切在圆心的同侧,且ABCD,AB、CD间内距离是胫1折46,那么(Do的半径长为【例3】如下图，有一座拱桥为圆瓠形，它的跨度力4为60

6、米，拱高为18米.当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施.假设某时刻拱顶离水面只有4米，即PN=4米，那么此时是否需要采取紧急措施？【练1）如图，为了测量圆形工件的直径，在工作台上用边长都为5cm的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离力8=40Cm,求圆形工件的直径.假设此题把两个小木块换成小5cm,祢还会做吗？柱，其直径为【练2】（2019年武汉中考）如图，铁路觑V和公路PQ在点O处交汇，N/外占30.路侬上矛处距离O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火米/时的速度行驶时,A处受噪音影响的时间为（）车在铁附小上叶72千A.12秒B.1

7、6秒C.20秒D.24秒例4如图,AB是。0的直径,CD是。的弦,AB.而交于点，且乙/A45R.求证：PC+Pt）=ZR.【练】（2019年武汉元调）如图/为直径40上的一点，点朗和N在。（,假芯。的半径为6=2cm,/1=16cm,那么AV+EM=cm.）.假设【变1】如图为。的直径，曲为弦，4也功于,必，胱169于从(1)求证：Qf=DN.(2)假设49=10tCD=3,求4V的值.【变2】如图，。0的直径49=15cm,有一定长为9cm的动弦CD在AMB上滑动(点c与点力，点与点、B不重合)，且CE1eD交AB于E,DF1CD交AB于R(1)求证：AE=BF;(2)在动弦8滑动过程中，

8、四边形四花的面积是否发生变化？假设变化，请说明理由；假设不变，请予以证明并求出这个定值.FBE【例5】如图,AB,5是。0内两条相互垂直的弦，垂足为K,。0的半径为5,且仍=加8,求OK,KD的长度.【练】如图，。0中弦48_1勿于E,4=1,BE=5OE=2.5.11)求。的半径；一-/例6如图，在半径为5的扇形AOB中AOB=90,点C是瓠AB上的一个麻由啼,OD1BC,OE1AC,垂足分别为DE.(1)求线段OD,DE的长；(2)求线段OE的长.!【练】如图，。0的半径4=6,点/、B、C在。0上运动，保持N班仁6位K磔W由于，/1NC于反以下结论中错误的选项是()一25花A.弦比的长为

9、定值B.四边形4的面积为定值/WrC.线段小的长为定值D.四边形的切的面积有最大值/【变】(2019年武汉四调)如图，直径力8,CD的夹角为60,尸为Oo上的须左焉义力,B,C,，重合).2V,4V分别垂直于口，必，垂足分别为假设。的半径长；色遂)A.随尸点运动而变化，最大值为#B.等于/!C.随P点运动而变化，最小值为如D.随夕点运动而变化，没有最值忆；【例7】等腰A4%?内接于半径为5的。O,点O到底边理的距离为3,那么AB的长为.【变1】如图扇形力切的圆心角/加快=90,半径为5,正方形CDEF内接于该扇形，那么正方形CDEF的边长为.【变2】如图，正方形ABCD的顶点A,D和正方形mV

10、的顶点44在一个以5为半径的。0上，点J,在线段比上.假设正方形力仇力的边长为6,求正方形上亿犷的边长.【变3】如图，牙所在的0的半径长为IO,等边/1比的顶点48分别在半_典_八E上，/砌=60,如果力儿10/那么这个等边三角形的边长为.夕/【拓1】如图，。中，直径,梆=10,正方形的四个顶点分别在半径0从（/并且N尸仁45,那么48的长为./IcI【拓2】如图两正方形彼此相邻且内接于半圆假设小正方形的面积为16c）2那么该半圆的半径为.【拓3】如图，力4是半圆0的直径，四边形CDMNDEFG都是正方形，其中C,力在半圆上.假设力归10,那么正方形勿JW的面积与正方形颂；的面积之和是_zX【

11、点题作业】/G-Y1、如图,00的弦48=8是9的中点，且J=3,犯么。0的半径等于/_2、如图，。的弦48垂直平分半径OC,假设49=2,那么。的半径为一AoDE3、如下图为直径是52cm的圆柱形油槽,装入油后油深CD为16cm,那么油面宽度AB=cm.4、如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣瓠）淇跨度为24米，拱的半喑13米,那公拱高为，一.5、如图,加是OO内过点尸的一条弦，。的半径为3cm,且用=22cm.PB=2cm,那么Po的长为6、一工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的C如下图./0=2.3来.CD=Z米.现有一辆集装箱卡车要开进工厂，卡车i通过厂门？7、如图是。0的直径，弦而与力

12、6相交于点,/1M1或，觎！勿，垂足分别为MN.CD7=5,MN=q,那么线段V的长为.8、力夕为。的直径，。9为弦,AM1CD于M,BN1CD于M(1)求证：G1f=DN;(2)假设48=10、CD=8,求名V+4V的值.9、如图，。0的两条弦一，互相垂直，垂足为后，且=6D.CE=Z,被=8,那么。0的半径是10、如图，。直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=G,DEB=30,求弦勿长.11、如图，。的半径斤=6,点力、B、C在。上，N阴C=60,求力严+mJC的值.12、如图，。的半径e=6,点、A、B、C在。0上运动，保持N%r=60,OD1AB于D,OEIAC于,求四边形OEA

13、D面积的最大值.13、在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为40mm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：假设将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为(单位：mm).14、如图，三个正方形在。0直径的同侧，顶点8、GG、都在。的直径上，正方形力809的顶点力在。0上，顶点在小上，正方形夕石的顶点在。上，顶点在无上，正方形只为0的顶点产也在。上，但设BC=I,GH=2,那么CG的长为.15、小雅同学在学习圆的根本性质时发现了一个结论：如图1,在。中，以弦/18手点TJaV11弦切于点假设仁M,那么46=卬.彳(1)请帮小雅证明这个结论；/(2)运用以上结论解决问题：如图2,在R1A46C中,NABC=90,0为牛冲角平分区的交声，以0为圆心，08为半径的。与/a三边分别相交于点、E、F、G,假设49=9P伊山2；-磁加d周长.