比较二次根式大小的巧妙方法.docx

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1、比拟二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中数学中的根底知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比拟二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比拟几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比拟二次根式大小的几种根本方法，如求近似值法、比拟被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差、“做商、“有理化、“取倒数、“平方等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最适宜？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比拟二次根式大小的有效方法。一、移动因式法此法好学，适用

2、。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比拟被开方数的大小。例1:比拟的大小。解:>∴>二、运用平方法两边同时平方，转化为比拟赛的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。例2：比拟与的大小。解：，>；O,>；O&there4；&1t;三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进行比拟。例3：比拟与的大小。解：&there4；>四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比拟大小。例4：比拟与的大小解：T>&there4；>五、求差或求商法求差法的根本思路是：设为任意两个实数

3、，先求出与的差,再根据“当&1t；O时当时当>；O时来比拟与的大小。求商法的根本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商,再根据“同号：当>；1时,>=1时,时,&1t；o异号：正数大于负数来比拟与的大小。例5：比拟的大小。解：V&1t;&there4；&1t;例6:比拟的大小。解：V>；1∴>六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比拟。例7：比拟的大小。解：T>；∴&1t;七、运用媒介法此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换到达直观比拟的方法，类似于解方程中的换元法。例8：,试比拟的大小。解：设，那么，V&1t;,&there4；&1t;

4、,即&1t;八、设特定值法如果要比拟的二次根式中含有字母，为了快速比拟，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比拟。例9：比拟与的大小。解：设，那么：二1,二*/&11;1,&there4；>九、局部缩放法如果要比拟的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而到达比拟大小的目的。例10:比拟的大小。解：设，/,7&1t；&1t;8,即7&1t;&1t;8,8&1t；&1t；9,即8&1t;&1t;9∴&1t;,即&1t;例11:比拟与的大小。M：v>；∴>十、“结论推理法通过二次根式的不断学习，不难得出

5、这样的结论：“>；（>；>；0）,利用此结论也可以比拟一些二次根式的大小（结论证明见文末）。例12：比拟1与的大小。解:,由>(>>O)可知：>即>又.>&there4；>,即1>；总的来说，比拟二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的根本性质和运算法那么上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能到达熟练而又快捷，运用

6、自如的程度。附：“>；(>；>；O)的证明。证明：Y,>&there4；>(>>O)【典题新练】：1、比拟与的大小；2、比拟与的大小；3、比拟与的大小；4、比拟与的大小；5、比拟与的大小；6、比拟与的大小（其中为正整数）7、设，试比拟它们的大小；8、比拟与的大小；9、比拟与的大小；10、比拟与的大小;11、比拟与的大小；12、比拟的大小；13、比拟与的大小；14、比拟与的大小；15、假设为正整数，试比拟的大小；16、比拟的大小；17、比拟与的大小。【典题新练参考答案】：1、提示：，&there4；&1t;2、提示：平方后再进行比拟。∴>3

7、、提示：可利用>；（>；>；0）。>,即>；4、提示：分母有理化后再进行比拟。,&1t;,&there4；&1t;5、提示：分子有理化后再进行比拟。V>,∴&1t;,即&1t;6、提示：T,其中为正整数,∴>故&1t;7、提示：设，那么：，/&1t;∴&1t;,∴&1t;8、平方后再进行比拟。又,&there4；>&there4；&1t;,&there4；&1t;9、提示：V2&1t;&1t;3,7&1t;&1t;8,∴&1t;5&1t;&there4；&1t;10、提示：分子有理化后

8、再进行比拟。因为，而>所以&1t；,故所t;11、提示：分别求其倒数后，再进行比拟。>,∴&1t;12、提示：:，而7&1t;&1t;8,&there4；的整数局部为7。同样可得的整数局部为8,&there4；&1t;13、提示:V>∴>14、提示：平方后再比拟大小。&there4；&1t;15、提示：由偶次根式的定义得,∴&1t;2009,&there4；&1t;0,∴>0,&1t;O,∴>16、提示：由，设>；,那么>；4,两边平方得：>；16,∴>4,这与&1t；=4相矛盾,&there4；假设不成立，故&1t;。17、提示：可在方格纸或坐标纸上作折线图。，例如如下列图：,；O由图可知：>；,即>；