3数列求和.docx

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1、3、数列求和三、解答题fs3. (2023全国统考高考真题)记S”为数列,的前项和，已知q=1,代1j是公差为g的等差数列.求4的通项公式；1 1IC(2)证明：一+0时，/U)-1,求4的取值范围；111一八设，证明：E+亚+E().5. (2023天津统考高考真题)设%是等差数列，也是等比数列，且ai=bi=a2-b2=3-bi=1.求q与也的通项公式；(2)设4的前n项和为求证：(Sw+n+M=Srt+4-S也:(3)求%+i-(T)Z.Jt=I6. (2023全国统考高考真题)设“是首项为1的等比数列，数列满足=管.已知4,3%,9%成等差数列.(1)求回和色的通项公式;C(2)记S.

2、和7；分别为q和2的前项和.证明：T“苣.7. (2023.天津统考高考真题)已知可是公差为2的等差数列，其前8项和为64.仇是公比大于0的等比数列,A=4,-=48.(I)求叫和低的通项公式；(Ii)记q=%+wM,证明归-%是等比数列;(ii)证喷信22(nN*)8. (2023全国统考高考真题)设q是公比不为1的等比数列，%为%,%的等差中项.(1)求q的公比;(2)若4=1,求数列见的前项和.9. (2023全国统考高考真题)设数列即满足=3,/.=3“-4.(1)计算。2,的，猜想m的通项公式并加以证明；(2)求数列2卬?的前项和S.10. (2023.天津.统考高考真题)已知4为等

3、差数列，他为等比数列，q=%=1o5=5(%也=4(-)-(I)求4和%的通项公式;(H)记4的前项和为S”,求证：+1(nN*);色仁也，为奇数，(In)对任意的正整数，设G=/a求数列g的前2项和.当，为偶数.1%11. (2019.天津高考真题)设是等差数列，也是等比数列，公比大于0,已知6=4=3,b2=a3,bi=4%+3.(I)求小和d的通项公式；1,为奇数，(H)设数列,满足。=乙为偶数,求4。+年2+4“u212. (2019浙江高考真题)设等差数列4的前平项和为租,%=4,%=S3,数列仍。满足：对每6W,邑+%1+2，除2+成等比数列.(1)求数列SJUU的通项公式；(2)

4、记C=JMeN.,证明：C1+C2+Cm1,且田+.+所28,S+2是,试卷第2页，共4页。5的等差中项.数列加满足b=1,数列(加+/Tw)gi的前项和为2/+.(I)求夕的值；(H)求数列w的通项公式.14. (2019天津高考真题)设/是等差数列，是等比数列.已知4=44=6也2a1-2,b=2ay+4.(I)求4和的通项公式;2kn,利用倒数法得到一=，+=/，=+-再放缩可2+i%yJan(也2)41114an得7=7=+3,由累加法可得勺之；不，进而由，向=；1局部放缩可得M+M4(+1)+也,然后利用累乘法求得4/,最后根据裂项相消法即可得到SK)O0,j.1+yJan2.Y一,

5、最后由裂项相消法求得SKiO3.5+1)(+2)【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得4,a的公差和公比,由此求得d+/【详解】设等差数列4的公差为d,等比数列也的公比为9,根据题意“1.等差数列4的前项和公式为pn=WI1Dd=2+（4，等比数列出的前项和公式为Q=处二勾=一g-q-q依题意S.=K+2,即2-+2-1=2+（4一日一3/+3,22）-q-q4=1ci.=-1通过对比系数可知2=.4=2d=2a.=OIJc,故4=4.夕=2A=I故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.3 .“中(2)见解析【分析】(I)利用等差数列的通

6、项公式求得3=1+-1)=W2,得到S“=(+?”,a”333利用和与项的关系得到当2时，/=Sz1=(+?._+?矶,进而得:=,334-1利用累乘法求得q=当D,检验对于=1也成立，得到4的通项公式q=吗W；(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到,+，+-=2f1,进而证得.4 %ann+JS【详解】(1)；4=1,，5=4=1,，1=1,a又是公差为!的等差数列，IAJ3S1/、+2+2)-=1-(w-1)=-,S1J当2时，Si=(+?%,.cc(+2”“e+)%整理得：(-1)%=e+i)%,0,a.an,a.an=ax-.-ij-4。2%,34n/?+1z(w+1)=1-X.X=

7、-i-12-2n-2显然对于=1也成立，4的通项公式q=当D：(2)=-=2f1-11ann(n+)nn+J4(Df(X)的减区间为(Yo,0),增区间为(0,转).Q);(3)见解析【分析】(1)求出r(),讨论其符号后可得力的单调性.(2)设(x)=e-e+1,求出犷(力，先讨论时题设中的不等式不成立,再就0g结合放缩法讨论力(%)符号，最后就0结合放缩法讨论人(力的范围后可得参数的取值范围.(3)由(2)可得21nf1恒成立，从而可得1n(+1)-1nJ对任意tyn+/?的WN恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【详解】(1)当=1时，/(x)=(x-1)ev,则/(力=疣当XVO

8、时，(x)0时，第x)0,故”力的减区间为(y,o),增区间为(0,+8).(2)设MX)=Aerri,则Mo)=O,又“(x)=(1+0x)e-e,设g(x)=(1+r)etu-3，贝IJ(x)=(2+2x)ev-ev,若贝J(0)=2-10,因为g(x)为连续不间断函数，故存在/w(0,+),使得Vxw(0,),总有g(x)O,故g()在(O,M)为增函数，故g(x)g(O)=0,故MX)在(0,AO)为增函数，故Mx)Mo)=,与题设矛盾.若0Vg,贝IJ(X)=(1+ax)etu-er=ettt+,n0+-et,下证：对任意x0,总有1(1+%)vx成立,证明：设S(X)=In(I+x

9、)-x,故9(X)=占一I=言o,故S(X)在(0,+0)上为减函数，故Sa)S(0)=0即1n(1+x)x成立.由上述不等式有e+,n0+1-erer+ttr-e=e2m-exO故(x)0总成立，即MX)在(0,y)上为减函数，所以MX)z(0)=0当q0时，*A,(x)=eav-ev+axear1-1+0=0,所以hx)在(O,+)上为减函数，所以A(x)0,总有YMTx+vc成立，令.5，则，1,产=ejr,x=21nf,I-V故2n/_即21nf1恒成立.t所以对任意的eN有21n严(严一信，整理得到：1n(w+1)-1nIn2-In1+In3-In2+1n(+1)-1nz?ftxi7

10、T27T2)=1n(w+1),故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.5.q二2-1也=2T（2）证明见解析（6-2）4“+89【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；（2）由等比数列的性质及通项与前项和的关系结合分析法即可得证；（3）先求得%-（-1产生IkA1产*%，进而由并项求和可得7；=h4*”，再结合错位相减法可得解.【详解】设&公差为d,也“公比为q,则勺=1+（-Dd也=卡,由4一人2=1可得，”1=d=q=2（d=q=O舍去），+2d-q=1所以q二2-1也=2一（2）证明：因为%=2,0,所以