模糊控制器与PID调节器的关系.docx

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1、中 国 科 学 (E 辑)第 29 卷第 2 期 SCIENCE IN CHINA (Series E) 1999 年 4 月模糊控制器与PID调节器的关系*李洪兴(北京师范大学数学系，北京100875)摘要揭示模糊控制器与P1D调节器之间的内在关系.首先指出，单输入单输出模糊控制器是个分段P调节器:然后证明了双输入单输出模糊控制器是个具有P与D(或P与I)交互影响的分片PD(或PI)调节器;最后证明:三输入单输出模糊控制器是个具有P ,I,D之间交互影响的分片PID调节器.此外，还给出三输入单输出模糊控制器的差分格式.关键词：模糊控制器；插值器；P调节器；PD调节器：PI调节器；PID调节器

2、1单输入单输出模糊控制器与P调节器的关系设X =-E , E, V =-U分别为模糊控制器的偏差论域(即输入论域)和控制量论域(即输出论域),A=AikmB二出生2分别为X与V的模糊戈ij分(即基元组/引,其中A. e F(X),Bi e F(V),叫做基元;a, u分别为Ai与Bi的峰点【I),满足条件：-E X1 X2.XnE ,-U U| VU2i(x)Ui,考虑时间变量t之后应写为i=lnu(t)=F(x(t)=Ai(x(t)Ui.(2)(C) 1994-2019 China Academic Journal Electronic Publishing House. All right

3、s reserved. httpr/Zww1通常，基元组取为形如下式的线性基元组(即累属函数为“三角波形状，见图1):(X(t)-X2)/(X -X2), X X(t)X2 ,Ai(x(t)=(3)0,其他；z(x(t)-Xi-i)/(Xi -Xi .1), Xi-1 x(t)Xi,Ai(x(t)=(x(t), Xi+i)/(Xi -Xi +1), Xix(t)Xi+i, i =2, 3,., n -1;(4)、0,其他，19980616收橘，1998/105收修改稿*国家自然科学基金资助项目(批准号：69674014),教育部跨世纪优秀人才培养计划基金以及北京师范大学跨世纪优秀学科带头人基金

4、资助项目/J0,其他，An(x(t)=(5)(X(t)-Xn.l)/(Xn -Xn-l), Xn.1 X(t)Xn .基元组B可类似写出.显然，这样的基元组为二相基元组13).文献2指出,目前大多数模糊控制器的推理规则均满足所谓规则的单调性，由此导致控制函数的单调性;注意到论域的形式，便有(X #)(sign(F(x)=sign(F(x),从而 F(0)=0.本文用e表示偏差，即系统设定值与被控量之差;并且总假定隶属函数取为形如图1的线性基元.图1线性基元组(C) 1994-2019 China Academic Journal Electronic Publishing House. All

5、 rights reserved. httpz/Zww1定理1取X=e(t),则单输入单输出模糊控制器恰为一个分段带平移系数的P调节器，(6)U(t)=F(X(t)=U(I)(t)+. .+U(1 !)(t)+U(叫。+U(n)(t),其中u(i)(t)= K ( ( )+ Xi X(t)Xi+l ,0,其他,138中 国 科 学 (E辑)第29卷这里，i =1,2,., n-1;K V)为偏差范围Xi, xi+i内的比例增益,不避为凡xi+i内的平移系数;特别,T(d,于是| K(Pio.l)X(t), Xi-1 X(t)Xi,U(io.l)(t)= oo(8)0,其他；(网 x(t),Xi

6、x(t) Xi. I,U(io)(t)=oo(9)0,其他.证 当x(t)为Xi, Xi+1时,由(5)式有nu(t)=F(x(t)=Aj(x(t)Ui =Ai(x(t)Ui 4-Ai+i(x(t)Ui+i =i=l X(t)-Xj+1 X(t)-XLU1-Ui+1 XiUi +1 Xi +lUi Ui + -Xi Ui+1 = Xi -Xi +1X(t)+ Xi-Xi+1 =Xi -Xi+1 Xi +1 Ui Ui+lXiUi +1-Xi +1UXi -Xi +lX(t)+ Ui - !Ui+I, IJ取(Kpi) =AUi 二-UXii+l , Tc(i) =AXiUuiil-UXi +i

7、HUi ,(10)Xi (i)(i) u(i)(t)=AKp(x(t)+Tc ),Xi X(t)=()().蜕化为普通P调节器：U(U)(t尸(i然而在离KP零点较远之处，模糊控制器则表现为带平移系数的P调节器，这一点非同小可,它有效地抑制了超调现象;不过在零点附近，由于模糊控制器就是P调节器，故它保留了静差较大这一缺点.注2从几何上看,P调节器u(t尸图2分段P调节规律Kpx(t)在x-u平面上是一条通过原点的直线,说明它具有线性调节规律;而模糊控制器则将这条直线折为数段，形成一条通过原点的折线.当分点Xihwsn较密时，该折线可以逼近一条曲线,这意味着模糊控制器具有非线性调节规律.因此，模

8、糊控制器在性能上要比P调节器优越.2双输入单输出模糊控制器与PD和PI调节器的关系设X =-E , E,Y =-EC , EC为模糊控制器的输入论域,V =-U , U仍为输出论域;A=Ai/p,B=Bj增勿,D=Dij闫4,1可分别为X,Y,V上的模糊划分;小，力，画分别为 A.,Bj ,Dij 的峰点，满足条件:-E Xl x2.xpE ,-EC yj y2.yqEC ,-U Si” 山2咽WU .这里A仍按(3)(5)式规定，不过要将n换为p 类似(3)(5)式，不再赘述.A,B,D形成推理规则库R:if x is Ai and y is Bj then u is Dij,(11)这里i

9、 =1,2,., p ,j =1,2,，q.由文献川知，基于(11)式构成的双输入单输出模糊控制器可表示为如下的插值函数：p qu(t)=F(x(t), y(t)=XZAi(x(t)Bj(y(t)Uij.(12)i=l j=l140中 国 科 学 （E辑）第29卷定理2取4内4二皿，则双输入单输出模糊控制器表示为具有x（t）与dty交互影响并带平移系数的分片PD调节器：u（t）=AF（x（t）, y（。尸ZZu（i，j）（t），（13）i=l j=l其中K . （）+（）+（）（）+）.（i J） u （t）=Xi x（t）xi +i, * 0ySyj+i, （14）10,其他，这里q l;K

10、（Pi,j）, 1（.小丁很）,1（。4）分别为xi, xi+i冈 yj,方+区域内的比例增益，微分时间常数,x与y交互影响时间常数，平移系数;特别，若设（Xi,yj）为xy平面的原点，即00Xi=0=yj,则 T -于是，当i =io-l, io且jKXi X(t)Xi证当(X,=jo-l,jo时,(14)式简化为,()+ ,()+ ( , 1 ( ) ( ) ).u (1 ,j)(t)=+i,yjWy(t)$yj+】，(15)0,其他.y(t) Xi, Xi+ix yj, yj+1时，由线性基元组的构造便有p qu(t)=F(x(t),y(t)=XAi(xW)Bj(y(t)Uij=Ai(x

11、(t)Bj(y(t)Uij +i=l j=lAi(x(t)Bj+i(y(t)Uij +i +Ai+i(x(t)Bj(y(t)ui+ij + Ai+i(x(t)Bj+i(y(t)ui+ij+i =()-x-Xjjj yvtz yj+ix(t)-Xti丫-方xi-xi+i yj-yj+i uij + xi -xi+i yj+i -yj uij +1 +x(t)-Xi y(t)-yj +ix(t)-Xiy -yjxi +i -xi yj -yj +i ui +ij + xi+i -xi yj +1 -yj ui +ij+i = yi(uii+i -ui+ii+i)+yi+i(uii+i -uii)(

12、xi-xi+i)(yjyj+i)x(t)+Xi(Ui +Li Ui+Li+l)+Xi +l(uii+l Uii) yi(Uii+1 -ui+ij+i)+yj+i(ui+ij -uij)y(t)+URUij土UiljJzUi Ij 土 1yj(uij+i -ui +ij +i)+yj +i(ui +ij -uij)x(t)y(t)+ uiixi+iyi+iuii+ixi+iyiUi+liXiyi+1 +Ui+li+lXiyiyj(uij+i-ui+ij+i)+yj+i(ui+ij -uij)取KPi.j)=，yi(Uii +l(XiUi +lXj +i+l l)+)(yYi i+l(yiU+il

13、+)li Uii),(16)(TDi,j)=A 2i(UUiij+lli-zUUii+ 1 ljj+ i l)+)yXji+ 1 l(UUiii+ 1 lj z-UUyij),(17)w(i ,j)A Uij-Uij：hl=Ui_ljUi+lj.+ lTpD =(uij+l -Ui+lj +|)+yj +l(ui +lj -Uij),(18)yj(i ,j)-UiiXi+iyi+l -Uii+IXi+iyi-Ui+li Xiyi+1 +Ui+li+lXiyiTc=(-)+(-),(19)yj Uij+l Ui+lj+l yj+1 Ui+lj Uij我们有u(t)=K(Pi. j)(x(t)+T(Di. j)y(t)+T(PDi. j)x(t)y(t)+T(ci ,j)=u(i,j)(t).此外,从控制函数的单调性12】可知F(0,0)=0,因此 叫二F(Xi,y)=F(0,0)=0.于是从0000(19)式易知 T(CiQ,jo)=T(Cio,jbl)=T(Cio4,jo/