一元二次方程知识点总结.docx

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1、第二章一元二次方程本章中考动向：会用因式分解法、公式法、配方法解简单系数的一元二次方程；了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系并能进行简单运用；能根据具体问题中的数量关系列方程，能根据具体问题的实际意义检验方程的解的合理性。一.知识点：1 .一元二次方程的概念只含有一个未知数X的整式方程，并且都可以化成a/+法+c=O(a,b,c为常数，a#0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。注：(整式方程，含有一个未知数；整理后未知数的最高次数是2)2 .一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于X的一元二次方程，经过整理，化成：ax2+bx+c=O(a0)o这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中

2、a/是二次项，a是二次项系数；取是一次项，b是一次项系数，c是常数项，关键：(Da01(2)系数带上符号3 .一元二次方程的解(根)能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根，应用：若是方程的解(根)，则代入方程，可使其成立。通常结合恒等变形来求一些式子的值。例：已知a是方程3x+1=0的一个根，试求.I-5+1的值。a+14 .配方法解一元二次方程：将一元二次方程转化成(X+r)2=(n0)的形式。通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根。(X+r)2=(n0)X=-m关键：将二次项系数化为1的方程的两边同时加上一次项系数一半的平方注：在求解一些

3、式子的最值问题时，我们是将式子配成完全平方，再利用完全平方式子的非负性来解决。例如：当X取何值时，代数式2d-6x+7的值最小？求出这个最小值？5 .公式法解元二次方程对于一元二次方程a+H+c=0(a0),当-4acN0时，利用配方法可算出它的根是h+4月X=-Y，这个式子成为一元二次方程的求根公式。2a关键步骤：(1)将方程化为一般形式，确定公式中a,b,c的值；(2)先求出bz-4ac的值，再考虑是否用公式。6 .一元二次方程根的判别式(A=S2-4ac)(1) A0时，方程a/+bx+c=0(a0)有两个不等的实数根(2) A=O时，方程ar?+以+。=0(a0)有两个相等的实数根(3

4、) AVo时，方程a/+C=O(a0)没有实数根7. 因式分解法解一元二次方程(ab=O,则a=0或b=0)步骤：(1)整理方程，使其右边为0(这很重要)；(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；(3)令每个一次式分别为0,形成两个一元一次方程，他们的解就是一元二次方程的解。常用的因式分解法：(1)提公因式；(2)公式法；(3)十字相乘：X2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)对于第三种方法要牢记两数之和为一次项系数，两数之积为常数项，此法在应用题中比较方便。技巧：右化零，左分解，两因式，各求解8. 一元二次方程的根与系数的关系八、bc(1) x1+X2=，x1x2=aa(2) x,2+

5、x?=(x1+x2)2-2x,x2(3) x-X2=y(Xi-X2Y=7(X+X2)2-4xx29. 一元二次方程解应用题(1)列方程解应用题的关键在于找出题目中的等量关系，有些等量关系比较明显，有些隐含在题意当中，需要分析题意，挖掘出来。(2)在一元二次方程解应用题中，还有一个关键的地方在于舍根。检验方程的根，把不符合实际意义和不符合题意的根舍去。(3)常见的等量关系常见题型等量关系几何问题各种图形的周长、面积、体积公式等销售问题利润=售价-进价利润率二利润进价=(售价-进价)进价售价=进价X(1+利润率)总利润=总售价-总成本=单个利润总销量增长率问题a(+x%)2=b(a为起始量，b为终

6、止量，x%为增长率)利润问题本息和=本金+利息利息=本金X利率X存期三.重难点分析1 .一元二次方程和一元二次方程的根的问题(1) 一元二次方程要抓住未知数X的最高次数2；二次项系数不为零两个关键点(2)如果有X。是方程a/+bx+c=0的解，贝情式子就+如,+C=O成立。当求含有X。代数式的值时，找出该代数式与竭+c相类似的结构进行整体代入求值.2 .解一元二次方程的问题(1)根据方程的形式，用适当的方法求解一元二次方程(公式法和配方法适用于所有一元二次方程，因式分解则适用于部分方程）（2）利用判别式（A=-4ac）,我们可以确定方程根的情况，若有根则20。但是要注意一些二次项前面有未知数的

7、方程，若明确说是一元二次方程，则要考虑二次项不为零；若只是说是方程，则要更具二次项系数是否为零进行分类讨论。（3）在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法。对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法。（4）知道一元二次方程的两个根，就可以知道用因式分解法求解的过程，（x-a）（x-b）=0-x=a,x2=b（注意：和分解出来的数互为相反数）3 .根与系数的关系问题（1）已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求出方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根，也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值。如I：已知关于X的方程/一6

8、%+p2-2p+5=0的一个根是2,求方程的另一个根和的值？（2）已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定字母表示两根之和和两根之积，然后将已知的两根关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，求出待定字母的值，注意检验根的合理性。（3）运用根与系数的关系解决问题的前提条件是方程有实数根，即A20,在利用根与系数的关系求方程待定字母的值时，必须代到根的判别式中检验。如：已知$,x2是关于X的一元二次方程V-6x+Z=O的两个实根，且52石一占一二115。（1）求k的值；（2）求的值。4 .一元二次方程解应用题（1）列方程时，从最基本的等量关系入手，逐步把所有的已知条件表示出来。（2）解一元二次方程时，一般情况下都是整数解，因此是可以进行因式分解的，但是前提是方程化为一般形式的过程中不要出错。（3）一般情况下一元二次方程的解有两个，对于实际问题，这就涉及到一个舍根的问题，根据常识（如增长率不为负数，三角形的三边关系）来舍根，或者根据题目中的要求来舍根。