课时过关检测（十八） 利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题.docx

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1、课时过关检测(十八)利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题1.已知函数次X)=对詈.如果当XN1时，不等式Ja)恒成立，求实数A的取值范围.忸.当1Rr1)=1,所以g(x)0,所以g(x)为单调增函数，所以g(x)2g(1)=2,故”W2,即实数的取值范围是(一8,2.In2 .已知函数X)=Or-eX(aWR),g(x)=.(1)求函数大用的单调区间；(2)3x(0,+),使不等式Hx)Wg(X)-P成立，求”的取值范围.解：(1)因为，(x)=-ex,xR.当0时，(x)VO,大外在R上单调递减；当。0时，令/(x)=0,得X=In.由(x)0,得/U)的单调递增区间为(一8,Ina);

2、由(x)VO,得/(x)的单调递减区间为(In0,+o0).踪上所述，当a0时，大X)的单调递减区间为(-8,+8),无单调递增区间；当。0时，Ax)的单调递增区间为(一8,na)t单调递减区间为(In%o).(2)因为mx(O,+),使不等式HX)Wg(X)-e成立，则x,即Y譬.设A(X)=瞪，则问题转化为(max,.121nxj19I-由/1(X)P,令力(X)=O,得X=Ve.当X在区间(0,+8)上变化时，h,(x)t(x)随X变化的变化情况如下表:X(0,加)e(e,+)h,(X)+0h(x)极大吗由上表可知，当X=侦时，函数A(X)有极大值，即最大值为所以“W=/e/e故”的取值

3、范围是(-8,*.3 .已知函数AX)=Or+2-1n4(0,1).(1)求函数大幻的极小值；(2)若存在Xi,m-1,1,使得n)一/(M)INe-1(e是自然对数的底数)，求实数”的取值范围.解：(1)f,(x)=r1n2-In=2x+(x-1)1na.V当1时，In00,函数y=(r-1)1n”在R上是增函数，当OVaV1时，IiIaV0,函数y=(0r-1)IIIa在R上也是增函数，当a或OQV1时，/(X)在R上是增函数，又(0)=0,:H(X)O的解集为(O,+),/(X)VO的解集为(一8,0),故函数大外的单调递增区间为(0,+),单调递减区间为(-8,0),函数大0在X=O处

4、取得极小值1.(2).存在Xi,X2-1,1,使得x)一/(x2H2e-1,；只需/U)InaXfX)Inin2e-1即可由(1)可知，当X-1,1时，X)在上是减函数，在(0,1上是增函数，当X一11时，犬X)min=(0)=1,/U)max为人-1)和AI)中的较大者./U)一八-1)=(+1加)-Q1na)=。一2加a9令g(4)=-21nn(O),W(。)=1+a一色(1一加。，.g()=o-力一21n”在(0,+8)上是增函数.而g(1)=O,故当时，g(a)0,即U)M-1);当OVaV1时，g(a)0,则当xIn时，ft(x)0,当XV-In时，f,(x)0,即exx+1,即x1n(x+1)令X=得1n(1+3号;.从而1n(1+；)+In(I+g+1n(1+2+/=1/V1,故(1+i)(1+),(1+)2,所以加的最小值为3.