课时过关检测（十七） 利用导数证明不等式.docx

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1、课时过关检测(十七)利用导数证明不等式1 .已知WX)=(I-X)e4r-1.求函数HX)的最大值；(2)设工一1且x0,证明：g(x)0,大幻单调递增；当x(0,+8)时，f()V0,HX)隼调通减.所以“r)的最大值为人O)=0.(2)证明：由(1)知，当x0时，人*)V0,g(x)O1;当一IVxVO时，g(x)x设A(x)=t(x)-X,则/(x)=-ex-1.当x(-1,0)时，OV-XV1,0VPV1,则OV-XeXV1,从而当x(-1,0)时，h,(x)(O)=O,即g(x)V1综上，当一1且x0时总有g(x)V12 .已知函数/(x)=e1n-x(R).讨论Ar)的单调性；(2

2、)当=e时，证明：研x)-e*+2ex0解：(1/=三一(x0),若W0,则f(x)0,f(x)在(0,+8)上为增函数；若。0,则当OVXVA时，/(x)0;当工时，f(x)V0.故在(0,泉上府)单调递增；在，+8)上八%)单调递减(2)证明：因为x0,所以只需证AX)W?-2e,由如，当=e时，WX)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以犬)ia=WI)=e*(X-I)e”记g(x)=3-2e(x0),则g(X)=/,所以，当OVXV1时，g,(x)1时，g,(x)0,g(x)单调递所以g(x)min=g(D=-e.所以当x0时，/(x)g(x),即/(x)y-2e,即(

3、x)-ex+2ex0.3.已知函数X)=I11X一亭5(1)若=1,求Ar)的单调区间；(2)若。=0,x(0,1),证明：X2解：(1)当=1时，/U)=InX-譬，x(0,),11-21nxx2-1+21nx“吟-?-(XiXx+1)+21nx=X3-当Xe(0,1)时，/()o,Wx)在(M)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.(2)证明：当=0,x(0,1)时，炉一!等等价于二詈+2：V0,7x(0,1),ex(1,e),-nx0,.IiIX.p,则函数g(x)在(OJ)上单调递增，于是g(x)V-加1+11=0,当XW(0,1)时，/一4.(2023京西五校琰今)已知函数於)=；S

4、iIIX+加X-X-I,/(x)为小)的导数.(1)证明：式X)在定义域上存在唯一的极大值点.(2)若存在X1M,使/(X1)=於2),证明*XiXz21n.证明：(1(x)=cosx+-1,当x22时，OV1WQ,-1-1-2，ICOSX+q-1scosx-5=5(COSX-1)0,“=”不能同时取到，所以r(x)o；当OVXV2时，令MX)=f(X),则力(x)=sin-0,f(2)=cos2-10;当xxo时，/(x)V0.所以眉)是人外在定义域(0,+8)上的唯一极值点且是极大值点.(2)存在X1X2,使人XD=/(X2),即BSi11x+1nx-x-1=sinX21nx2x21,得Xi-必一/sinX1-SinM)=Inx-In必设g(x)=-sinX,则g(x)=1-cosxN0,g(x)在(0,+8)上单调递增，不妨设xX20,则g(x)g(M),即X1SinXI工2-SinX2,x1X2sinx1sE必，所以(X1X2)-T(X1X2)V(X1X2)一；(Si11X1sin也)=InXj-InXz9得*2丫加X1InXz9所以X1-必2加”.